Cálculo integral

C´lculo de primitivas. a
Isabel Mar´ Elena Fern´ndez y Celia Rodr´ ıa a ıguez Alfama* 18 de septiembre de 2005

Resumen Vamos a intentar mostrar una introducci´n al c´lculo integral, que o a es el tema que nos ha quedado pendiente de estudio a lo largo de este curso.

1.

Introducci´n. o

Lo primero que debemos tener claro es qu´ es una integral, como primera e aproximaci´n diremos quela integral o primitiva de una funci´n f (x) es otra o o funci´n F (x) tal que F (x) = f (x). Esto suele escribirse como: o f (x) = F (x) siendo F (x) tal que F (x) = f (x). A la funci´n f (x) se le llama integrando y F (x) es, como ya se ha comeno tado, una primitiva de f (x). Hemos usado el art´ ıculo indeterminado pues si F (x) es primitiva de f (x) tambi´n lo es F (x) + C siendo C ∈ IR. e

2.Propiedades lineales de la integral.

Sean f y g dos funciones y sean α y β dos n´meros reales. Entonces se u verifican las siguientes propiedades: 1. (f (x) + g(x)) dx = 2.
*

f (x) dx + f (x) dx

g(x) dx

αf (x) dx = α

Puerto Real (C´diz). a

1

Estas dos propiedades se pueden englobar en una: (αf (x) + βg(x)) dx = α Ejemplo: (2x − 3x2 ) dx = 2 x dx − 3 x2 dx f (x) dx + βg(x) dx

3.

Integrales inmediatas.

B´sicamente, el proceso de integraci´n lo podemos interpretar como el a o proceso inverso a la derivaci´n. De esta forma podemos elaborar una tabla de o integrales que se resolver´ de forma muy sencilla simplemente dominando ıan la t´cnica de la derivaci´n. e o Se nos presentan los siguientes casos: 1. Integral de la funci´n nula. o Si tenenmos f (x) = Cdonde C ∈ IR entonces f (x) = 0. Por lo tanto 0 dx = C, 2. Integral de una funci´n constante. o Si buscamos una funci´n que al derivarla nos de una constante k ∈ IR, o observamos que la soluci´n buscada es kx, as´ pues: o ı k dx = kx + C 3. Tipo potencial. Haciendo uso de: f (x) = xn+1 =⇒ f (x) = (n + 1)xn obtenemos que: xn dx = xn+1 +C n+1 n = −1 ∀C ∈ IR donde C ∈ IR

An´logamente, haciendo uso dela regla de la cadena para el caso: a g(x) = (h(x))n+1 =⇒ g (x) = (n + 1)(h(x))n h (x) 2

obtenemos que: f n (x)f (x) dx = Ejemplos: x−1/3 dx; 4. Tipo logar´ ımico. Como sabemos, la derivada de la funci´n logaritmo es 1/x. De aqu´ se o ı deduce que: dx = ln|x| + C x Y como antes, usando la regla de la cadena, obtenemos su expresi´n o para la forma compuesta: f (x) dx = ln|f (x)| + C f (x)Ejemplos: tg(x) dx; 5. Tipo exponencial. a) Puesto que la derivada de ex es ella misma, tenemos que: ex dx = ex + C An´logamente, para la derivada de la funci´n exponencial coma o puesta tenemos que: ef (x) f (x) dx = ef (x) + C b) Para el caso en que f (x) = ax , tenemos que f (x) = ln a ax por lo que llegamos a que: ax +C ln a Algo similar se obtiene para el caso compuesto: ax dx = af (x) f (x) dx =3 af (x) +C ln a sen(2x) dx 1 + sen2 x (2x + 1)(x2 + x + 1)200 dx f n+1 (x) +C n+1 n = −1

Ejemplos: xex dx; 6. Tipo coseno y tipo seno. Haciendo uso de la derivada, tanto del seno como del coseno, razonando como en los casos anteriores se tiene sin ning´n tipo de dificultad que: u sen(x) dx = −cos(x) + C cos(x) dx = sen(x) + C Y para la forma compuesta: sen(f (x))f (x) dx = −cos(f (x)) + Ccos(f (x))f (x) dx = sen(f (x)) + C Ejemplos: cos(nx) dx; 7. Tipo tangente. Como todos sabemos: f (x) = tg(x) =⇒ f (x) = sec2 x = Por lo tanto: sec2 (x) dx = tg(x) + C Y puesto que por aplicaci´n directa de la regla de la cadena obtenemos o que: h(x) = tg(f (x)) =⇒ h (x) = sec2 (f (x))f (x) es inmediata que la deducci´n del tipo tangente compuesto: o sec2 (f (x))f (x) dx = tg(f (x)) + C Ejemplos: tg2 (x) dx; 4 sec4 x dx 1 = 1 + tg 2 x cos2 x cos(ln x) dx x
2

esen(x) cos(x) dx

8. Tipo cotangente. Razonando an´logamente a como lo hicimos en el caso anterior, usando a la derivada de la cotangente, llegamos a: cosec2 (x) dx = Y para el caso compuesto: cosec2 (f (x))f (x) dx = −cotg(f (x)) + C Ejemplos: cosec2 (2ex )ex dx; cosec4 x dx 1 dx = −cotg(x) + C sen2 x

9. Tipo arcoseno...