D071_94 1

DOC. 0 7 1 /9 4
AMELIA BILBAO TEROL
CONCEPCIÓN GONZÁLEZ VEIGA
Ma VICTORIA RODRÍGUEZ URÍA
MATRICES ESPECIALES;
APLICACIONES ECONÓMICAS.

MATRICES ESPECIALES.

APLICACIONES.

1 .- In t r o d u c c ió n .
2 . - M o d elo

s im p l if ic a d o

L e o n t ie v .

de

3 . - O rd en p a r c ia l en

w n. M a tr ic e s

y

y

v e c t o r e s no

NEGATIVOS Y POSITIVOS.

4 . - M a t r ic e s d e s c o m po n ib l e s e in d e s c o m p o n ib l e s . In t e r p r e t a c ió n .
5 . - N o rm a s v e c t o r ia le s
m a t r iz con

y

m a t r ic ia le s . R e la c ió n de l a n o rm a de u n a

sus v a lo r e s p ro p io s .

6 . - S e r ie s d e p o t e n c ia s m a t r ic ia l e s . L e m a d e N e w m a n .
7 . - C o n s e c u e n c ia s d e l L e m a d e N e w m a n .
8 . - T e o r e m a s d eP e r r o n - F r o b e n iu s .
9 . - Condiciones s u fic ie n te s p a r a l a e x is te n c ia

y

no n e g a tiv id a d

de l a in v e rs a de L e o n tie v .
1 0 .- A p l ic a c io n e s d e l a r a íz d e F r o b e n iu s .
11 .- T e o r e m a d e s u s t it u c ió n e n e l m o d e l o d e L e o n t ie v .
1 2 .- O t r a s

a p l ic a c io n e s .

i

1.- INTRODUCCION.
Los modelos linealesson frecuentes en Economía, bien como
aproximaciones simplificadoras o bien como resultado de la naturaleza del
problema. Por ello y, situados en este enfoque lineal, las matrices
juegan un papel fundamental.
Hay

ciertos

especialmente

tipos

de

interesantes

con

matrices

que

aplicaciones

presentan
tanto

propiedades

finales

como

intermedias muy importantes en Economía. En una primeraaproximación,
podemos decir que esta clase de propiedades se refieren a la relación
entre la estructura de la matriz y el máximo módulo de los valores
propios de dicha matriz, es decir, su radio espectral. Son evidentes las
consecuencias de disponer de una acotación para el radio espectral debido
a su relación con la norma de la matriz.
En cualquier problema que precise una acotación para la normade
la matriz, es eventualmente aplicable la teoría de matrices especiales
que vamos a desarrollar en esta lección. A modo de ejemplo citaremos:
- la convergencia de métodos iterativos para
sistemas de ecuaciones lineales,

resolución de

- el estudio del número de condición de una matriz,
- estudio de la estabilidad de las soluciones de Ecuaciones
Diferenciales y de Diferencias,
- losmultiplicadores matriciales en modelos intersectoriales de
ingreso-gasto,
- el análisis interindustrial de Leontiev, etc.
En

el tema que

vamos

a exponer aplicamos los resultados

matemáticos que se vayan obteniendo, al análisis interindustrial.
Vamos a considerar las matrices con elementos no negativos:
matrices no negativas; la no negatividad de las variables económicas es
casi intrínseca puesto quesuelen representar cantidades o precios;
concretándonos en nuestro tema, el planteamiento del modelo input-output

(o factor-producto) nos va a dar pie a su estudio puesto que la no
negatividad de la inversa de Leontiev resolvería la viabilidad de la
economía representada en dicho modelo. El principal resultado que se
obtiene para estas matrices es la existencia de la raíz de Probenius, es
decir,cualquier matriz no negativa tiene un valor propio no negativo con
vectores propios también no negativos.
Los resultados sobre la existencia de soluciones no negativas de
sistemas de ecuaciones lineales: condiciones de resolubilidad débil,
fuerte y de Hakwins-Simons se relacionan de forma sencilla con los
obtenidos en este trabajo.
La

característica de

las economías

que

poseen

únicamentemercancías básicas, o bien básicas y no básicas, está vinculada al
carácter indescomponible o no de la matriz de coeficientes técnicos.
Además, las matrices indescomponibles y no negativas verifican un teorema
de Frobenius más fuerte que el correspondiente a las descomponibles.
Respecto a los elementos de matemáticas utilizados en esta
lección son tanto resultados de teoría de matrices, de valores y...