De Todo Un Poco

Metodo de Pasos Multiples
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta anuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de losprocedimientos multipaso.





El método de Heun de no autoinicio

Recordemos que el procedimiento de Heun usa el método de Euler como un predictor:



Y la regla trapezoidal como un corrector:

ec.1

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de y , respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace debil en el método, pues tiene el errormás grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el método de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de . Esto se puede cumplir al usar el método de Euler y la pendiente en , y una información extra del punto anterior comoen:

ec.2

Observe la ecuación ec. 2 alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podria no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de noautoinició.
Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio mas que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no autoinicio, resumiremos el método y lo expresaremosusando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor:

Corrector:

Donde los superíndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j=1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe que son los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con baseen el criterio de paro:

ec. 3

Cuando es menor que una tolerancia de error Es preestablecida, se terminan las iteraciones. En este punto
Ejemplo
Use el método de Heun de no autoinicio para realizar los mismos cálculos igual que en el ejemplo 25.5 mediante el método de Heun. Es decir, integrar de usando un tamaño de paso de 1. Como en el ejemplo 25.5, la condición inicial en . Sinembargo, como aquí tratamos con un método de multipaso, requerimos la información adicional de que .

Solución: El predictor se usa para extrapolar linealmente de



El corrector es entonces usado para calcular el valor:



La cual representa un error relativo porcentual de -5.73%. Este error es algo mas pequeño que el valor de -8.18% incurrido en el Heun de autoinicio.
Ahora, laecuación del predictor se puede aplicar de manera iterativa para mejorar la solución:



Que representa un Et de -1.92%. Puede determinarse un estimado de error aproximado usando la ecuación ec. 3:



La ecuación se puede aplicar de manera iterativa hasta que Ea esté por debajo de un valor pre especificado de Es. Como fue el caso con el método de Heun, las iteraciones convergen sobre un...