Deambular

Jes´ s Alfonso P´rez S´nchez
u
e
a

“Deambular por la Matem´tica”
a

´
Indice general
Introducci´n
o

1

1. An´lisis
a

2

1.1. R: completo, como cuerpo ordenado, y completo, como espacio m´trico . . . .
e

2

1.2. Aplicaciones de algunos teoremas cl´sicos del
a
An´lisis Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

12

1.3. Aveces, la unica soluci´n es ... la trivial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
o

17

1.4. Cuando la unica soluci´n es ... la identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
o

18

1.5. Tres ramas y un problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.6. Continuidad y Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.7. Un casode igualdad en la desigualdad de
Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.8. Una desigualdad muy esquiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.9. Sobre Conexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.10. El Principio de Arqu´
ımedes y el Teorema de la divergencia. . . . . . . .. . .

37

2. An´lisis Funcional
a

40

2.1. Ejercicios de An´lisis Funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

40

2.2. Sobre el Teorema de Hahn-Banach:
Forma Anal´
ıtica y Formas Geom´tricas.
e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3. Sobre el Teorema del punto fijo, de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.4. Sobre el Teoremade Representaci´n de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

75

2.5. El rec´
ıproco de un teorema b´sico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

77

2.6. Completitud y la esfera unitaria.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.7. Sobre Operadores Lineales Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.8. Sobre AplicacionesAbiertas y
Aplicaciones Cerradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.9. Isometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas.

90

2.10. Sobre Subespacios Vectoriales Cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.11. N´cleos y Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u

972.12. N´cleos y Subespacios Maximales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
u
3. Algebra Lineal

107

3.1. Agentes Secretos Algebristas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2. Matrices Semejantes y sus, respectivos
polinomios: minimal y caracter´
ıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3. A veces, la adjunta no existe. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4. Una aplicaci´n del determinante de
o
Vandermonde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5. Determinantes, producto vectorial y el teorema de Representaci´n de Riesz. . 127
o
3.6. Sobre Operadores normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4. Recreaciones Matem´ticas
a
4.1. CuadradosM´gicos.
a

136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.2. Maravillosos Principios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3. Teoremas de la Fauna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4. Los Cuatro “Cuatros”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5. Miscel´nea Matem´tica. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
a
a
5. Ecuaciones diferenciales

186

5.1. La curva de rodamiento: la cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Bibliograf´
ıa

196

Introducci´n
o
El objetivo primordial del presente trabajo es servir de complemento y apoyo a diversos
cursos de la Licenciatura de Matem´ticas de nuestra Facultad de...