Definición formal[editar]

Definición formal[editar]

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
Si son elementos de tales que , necesariamente se cumple.
Si son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Simbolicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Cardinalidad e inyectividad[editar]

Dados dos conjuntos y , entrelos cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:




Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.Ejemplos[editar]
Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la funciónidentidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (porejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
La función exponencial exp : R → R definida por exp(x)= ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ln x es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, acontinuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.Inyectividad en el espacio euclídeo[editar]

Dada una función diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes...