definiciòn formal de limite

Definición formal de límite
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

Teoremas fundamentales sobre límites
En los apartados anterioreshemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.
 
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite) 
 
Sea una función definida en unintervalo tal que .
Si y entonces .
 

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.
Prueba:  Al final del capítulo.
 
Teorema 2
 
Si son números reales entonces

  Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
 
Ejercicio:
Determine cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a.
con , enb.
con en
 Teoremas fundamentales sobre límites
Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:
El límite de una constante es la constante:


El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

El límite de un producto es igualal producto de los límites:

El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
, siempre y cuando
El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

La oraciónafirmativa en inglés se construye de acuerdo con la siguiente estructura:

Sujeto + Verbo + Objeto Directo
I + eat + apples
You + need + help
We + bought + a car


En la oración negativa, el auxiliar se sitúa delante del verbo principal:

Sujeto + Auxiliar negación + Verbo + Objeto Directo
I + don't + eat + apples
You + don't + need + help
We + didn't + buy + a car


En laoración interrogativa, el auxiliar se sitúa al comienzo de la misma:

Auxiliar + Sujeto + Verbo + Objeto Directo ?
Do + I + eat + apples ?
Do + you + need + help ?
Did + we + buy + a car ?


Otros complementos de la oración (lugar, tiempo, etc.) se suelen situar al final de la misma:
I eat apples at lunchtime.
You need help in your job.
We bought a car last Friday.

Normalmente, elcomplemento de lugar va delante del complemento de tiempo:
I eat apples at home at lunchtime.
You need help in your job right now.
We bought a car in Madrid last Friday.

Cuando hay adverbios en las oraciones, éstos se suelen situar delante del verbo en las formas simples, y entre el auxiliar y el verbo principal en las formas compuestas (hay numerosas excepciones):
I always eat apples at home.
Ihave always eaten apples at home.
You never need help.
You have never needed help. La oración afirmativa en inglés se construye de acuerdo con la siguiente estructura:

Sujeto + Verbo + Objeto Directo
I + eat + apples
You + need + help
We + bought + a car


En la oración negativa, el auxiliar se sitúa delante del verbo principal:

Sujeto + Auxiliar negación + Verbo + Objeto Directo
I+ don't + eat + apples
You + don't + need + help
We + didn't + buy + a car


En la oración interrogativa, el auxiliar se sitúa al comienzo de la misma:

Auxiliar + Sujeto + Verbo + Objeto Directo ?
Do + I + eat + apples ?
Do + you + need + help ?
Did + we + buy + a car ?


Otros complementos de la oración (lugar, tiempo, etc.) se suelen situar al final de la misma:
I eat apples...