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Regresión Lineal

Regresión Lineal
¿Qué es la Regresión? Dados n puntos de datos ( x1, y1), ( x 2, y 2), ... , (xn, yn)
la ecuación y  f ( x ) que mejor se ajusta a los datos. El mejor ajuste
generalmente se basa en minimizar la suma de los cuadrados de los
residuos, Sr .
Se define el residuo en un
punto, como:

( xn, yn )

 i  yi  f ( xi )
La suma del cuadrado
de los Residuoses:
n

Sr   ( yi  f ( xi )) 2
i 1

y  f ( x)

( x1, y1)
Figura 1. Modelo básico para regresión

Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 1
Dados un conjunto de n datos ( x1, y1), ( x 2, y 2), ... , (xn, yn) la línea
que mejor se ajuste a los puntos.
y  a0  a1 x
y
xi , yi

 i  yi  a0  a1xi

x2 , y2

x1 , y1

xn , yn

x3 , y3

 i  yi  a0  a1 xi

x

Figura 2. Regresión lineal
de y vs x mostrando los residuos en un punto
n
El criterio es minimizar   i , donde  i  yi  ( a 0  a1 xi )
i 1

Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 1
Ejemplo: Dados los datos (2,4), (3,6),(2,6), (3,8),
determine la línea recta que mejor se ajusta a los datos,
cumpliendo con el criterio 1.
10

Tabla 1. Datos
8

x

y

2.0

4.0

4

3.0

6.0

2

2.0

6.0

0

3.0

8.0

y

6

0

1

2

3

4

x

Figura 3. Datos x y y.
Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 1Usando la ecuación y = 4x – 4, como ecuación de regresión.
Tabla 2. Residuos en cada punto
para ecuación de regresión

10

y

ypredicha

ε = y - ypredicha

8

2.0

4.0

4.0

0.0

6

3.0

6.0

8.0

-2.0

4

2.0

6.0

4.0

2.0

2

3.0

8.0

8.0

0.0
4


i 1

i

y

x

0

0

0

1

2

3

4

x

Figura 4. Curva de regresión4x – 4 vs datos
Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 1
Usando la ecuación y = 6, como ecuación de regresión.
Tabla 2. Residuos en cada punto
para ecuación de regresión

10
8

y

ypredicha

ε = y - ypredicha

2.0

4.0

6.0

-2.0

3.0

6.0

6.0

0.0

2.0

6.0

6.0

0.0

3.08.0

6.0

2.0
4



i

6
y

x

4

2
0
0

0

1

2

3

4

x

i 1

Figura 5. Curva de regresión vs datos
Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 1
4


i 1

i

0

Para ambos modelos de regresión y = 4x – 4
y y = 6.

La suma de los residuos en ambos casos , es cero,pero el modelo de regresión no es único.
De aquí se desprende que el criterio de minimizar la
suma de los residuos no es un buen criterio.

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Regresión Lineal – Criterio 2
n

Minimizando


i 1

producirá un mejor resultado?

i

y

xi , yi

 i  yi  a0  a1 xi

x2 , y2

x1 , y1xn , yn

x3 , y3

 i  yi  a0  a1 xi
x

Figura 6. Regresión lineal de y vs x mostrando los residuos en un punto x.
Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Regresión Lineal – Criterio 2
Empleando y = 4x – 4 como ecuación de regresión.
Tabla 3. Los valores absolutos de
los residuos empleando y = 4x – 4
como ecuación deregresión.

10
8

x

y

ypredicha

|ε| = |y - ypredicha|

2.0

4.0

4.0

0.0

4

3.0

6.0

8.0

2.0

2

2.0

6.0

4.0

2.0

0

3.0

8.0

8.0

0.0
4


i 1

i

y

6

0

4

1

2

3

4

x

Figura 6. Curva de regresión y = 4x – 4 vs
datos

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