Deformación En Estructuras. Métodos Alternativos.

Análisis de Estructuras

Capítulo 4 – Deformación en Estructuras Métodos alternativos

Capítulo 4 Deformación en Estructuras. Métodos alternativos. 1 Preámbulo
En este capítulo se estudiará el método de resolución de vigas y marcos mediante métodos basado en deformaciones. En particular analizaremos el método de la viga conjugada, los teoremas de Mohr y una aproximación al método conocidocomo Slope & Deflection (PendienteDesviación). También se revisará el planteamiento clásico del Método de las deformaciones o de la rigidez. Como de costumbre este tipo de análisis se limitará al rango elástico de deformaciones.

2 Teoremas de Mohr.
Los teoremas de área-momento datan de fines del siglo XIX y son fruto de los trabajos desarrollados por el investigador Otto Mohr y establecidosformalmente por Charles Green en 1872. Estos teoremas proponen una técnica “gráfica” determinar deflexiones y giros en vigas a partir de sus diagramas de momento. Son de especial utilidad en la resolución de vigas sometidas a una serie de cargas puntuales o distribuidas, en especial aquellas que generen distribuciones de momento flector de geometrías simples (rectangulares, triangulares, parabólicas ycombinaciones de ellas). Las fórmulas se establecen considerando la geometría de la curva elástica ( v ( x ) ) y los diagramas de momento normalizados 

M(x)  , tendiendo como condición que la curva de la EI   

elástica sea continua entre los puntos en que se realiza el análisis.

-49Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Capítulo 4 –Deformación en Estructuras Métodos alternativos

Para entender este método considere la siguiente figura:

M(x)

EI

1

2

ϕ12

z12

x
Se sabe que:

dϕ M ( x ) = dx EI
Por lo tanto:

dϕ =

M(x) EI

dx

ϕ12 =

∫

2

M(x) EI

1

dx

Primer Teorema de Mohr: El ángulo que forman las tangentes en dos puntos de la elástica, es igual al área bajo la curva del diagrama M(x)  entre los mismos puntos. EI   

También sabemos por la geometría que:

dz = x dϕ
Por lo tanto:

dz = x·

M(x) EI

dx

z12 =

∫

2

1

 M(x)     EI ·x  dx  

-50Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Capítulo 4 – Deformación en Estructuras Métodos alternativos

Segundo Teorema de Mohr: La distancia vertical de un punto2 de la elástica a la recta que es tangente a la elástica en un punto 1, es igual al momento estático del área bajo la curva del diagrama  dos puntos respecto al punto 2. Ejemplos: Ejemplo1: Calcule el giro y desplazamiento del extremo de la viga en voladizo

M(x)  entre estos EI   

P

a

b

ϕ12 =

∫

2

M(x) EI

1

dx a Pa 2  M ( x )  Pa · = = EI  EI 2 2·EI ϕ12 = Área diagrama 
(+) + Pa
z12 =

(

)

∫

2

1

1
ϕ12

2

 M(x)     EI ·x  dx  

z12

M  z12 = Mto. Estático del diagrama  ( x )  c/r a pto 2. EI   2 Pa  2  z12 = · b + a  2·EI  3 

-51Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Capítulo 4 – Deformación en Estructuras Métodos alternativos

Ejemplo 2: Calcule losdesplazamientos y los giros bajo la carga aplicada sobre la viga.

P

a
P·b L

b

P·a L

ϕ12 =

Pa 2 b 2 EI·L

P·a·b L

z2
ϕ12

z12

ϕ2 ϕ1

z3

 Pa 2 b   a   Pab 2   2 b  · · b +  +    3   2 EI·L   3  z 3  2 EI·L       ϕ1 = = L L 2 2 Pab  a 2b   + · ab +  2 EI·L  3 3  Pab  ϕ1 = = ·((a + b )·(a + 2 b )) L 6 EI·L2 Pab Pab ϕ1 = ·(a + 2 b ) =·(L + b ) 6 EI·L 6 EI·L

ϕ 2 = ϕ12 − ϕ1 =

Pab Pa 2 b Pab − ·(L + b ) = ·(3 a − L − b ) 2 EI·L 6 EI·L 6 EI·L Pab Pab ϕ2 = ·(2 a − 2 b ) = ·(a − b ) 6 EI·L 3 EI·L Pab Pa 2 b  a  Pa 2 b Pa 2 b 2 ·(L + b )·a − ·  = ·(a + b + b − a ) = 6 EI·L 2 EI·L  3  6 EI·L 3 EI·L

z 2 = ϕ1 ·a − z12 =

-52Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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