democracia

Ecuación canónica de la hipérbola
 
          Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la hipérbola situemos un sistema de coordenadas cartesianas con centro el punto medio delsegmento focal FF y eje de abscisas pasando por los focos. Entonces la coordenadas de los focos en este sistema de referencia son F (c, 0)  y  F(– c, 0).
            Sea P (x, y) un punto cualquieradel plano. Por definición de hipérbola, la igualdad [1] es una condición necesaria y suficiente para que el punto P(x, y) esté situado sobre la hipérbola. La fórmula de la distancia entre dos puntosnos proporciona las longitudes de los radios vectores del punto P, 


[2]
 De [1] y [2] se sigue la relación 

[3]
 Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad [3], después desimplificar los términos semejantes se llega a una igualdad con un único radical. Transponiendo este radical y elevando de nuevo al cuadrado los dos miembros de la igualdad obtenida se llega a la igualdad Como c > a, entonces c² – a² es positivo y haciendo b² = c² – a² se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas:
 

[4]


                Debemos asegurarnos que la ecuación [4] deducida de [3] por transformaciones algebraicas no contiene raíces extrañas. Para ello será suficiente demostrar que los radios vectores PF y PF de todopunto P (x, y) cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] verifican la relación [1].
            Despejando y² en [4] y sustituyendo en [2], después de unos sencillos cálculos, se obtiene  entonces el punto P considerado pertenece a la hipérbola ya que que | PF – PF | = 2 a.
           Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la curva essimétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la hipérbola.
            Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea el...