Demostración Matemática

TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Introducción
Una demostración es un razonamiento probatorio expresado en lenguaje matemático, en varios casos se ofrecen demostraciones con enunciados cuya verdad parece obvia pero en realidad son falsos. Así que, solo podrá decirse que un enunciado es verdadero después de haberlo demostrado.
Para desarrollar una demostración es necesario saberexactamente qué significa probar una implicación, el enunciado (H) hipótesis y (T) tesis. Se lee de la siguiente forma: “si (H) entonces (T)” o “(H) implica (T)”, en matemáticas se escribiría de la siguiente forma:
(H)⟹(T)

Método directo
Para la demostración de un teorema por el método directo se parte de la certeza supuesta de la hipótesis y se debe llegar a probar la verdad de la tesis a través derazonamiento lógicos. Para realizar una demostración se puede hacer uso de las siguientes reglas:
Se puede sustituir un término o una expresión por su definición
Se pueden se pueden utilizar los axiomas o los teoremas previamente demostrados haciendo uso de la tesis de esos teoremas siempre y cuando comprobemos que las premisas del teorema se cumplen en el desarrollo del razonamiento
Sepuede sustituir una proposición por otra equivalente.

Ejemplo:
Sea n un número entero. Demostrar, en forma directa, el siguiente teorema:
si n es par,entonces n^2 es par.
simbolicamente∶
n es par ⟹ n^2 es par
demostracion:
1. n es par por hipótesis.
2. n=2k,para algun entero k.definicion de numero par.
3. n^2=(2k)^(2 ) de 2,elevando al cuadrado.
4. n^2=4k^2 de 3,potencia de un producto.
5. n^2=2(2〖.k〗^2 ) de 4,por descomposición defactores.
6. n^2=2k_(1 ) de 5,haciendo k_1=2k^2.
7. n^2 es par de 6,definición de numero par.

Método de reducción al absurdo
Con el método de reducción al absurdo, se empieza suponiendo que (H) es verdadera y que (T) es falso, eneste caso se debería escribir como NO (T). Por lo tanto una demostración por reducción al absurdo se supone que (H) es verdadero y que NO (T) es verdadero. Se debe utilizar esta información para llegar a una contradicción en un enunciado cuya veracidad este absolutamente fuera de toda duda.
Otra manera de visualizar el método de reducción al absurdo es utilizando la implicación (H)⟹(T) para obtenerla proposición (H)⋀ℸ(T). Luego se aplican razonamientos lógicos que conducirán a una contradicción. Al final se concluye la validez de la implicación inicial.
Ejemplo:
Sea n un número entero. Demostrar por reducción al absurdo el siguiente teorema:
si n^2 es par,entonces n es par.
Simbólicamente:
〖n 〗^2 es par ⟹ n es par

Por reducción al absurdo:
n^2 es par ⋀ n es impar
n^2=2kpor definición de numero par
n^2=2(2k_1^2 ) k=k_1^2
n^2=4k_1^2 de 2,descomposicion de factores
n^2=(2k_1^2 )^2
√(n^2 )=√((〖2k〗_1 )^2 ) raiz cuadrada amboslados de la igualdad
n=2k de 5,definicion de numero par.
(⟶⟵)contradiccion con la tesis ya que se llego a la definicion de numero par
Por lo tanto n es impar.
Método del contrarrecíproco
El enunciado “(H) implica (T)” es el equivalente lógico de “NO (T) implica a NO (H), simbólicamente: (H)⟹(T)≡ℸ(T)⟹ℸ(H). Este método consiste en...