Demostraci n de la Curvatura

Demostración de la Curvatura:
Consideremos la gráfica de una función real en el plano y dos rectas tangentes a en dos puntos distintos y . Observamos que las rectas tangentes tienen diferentependiente, o sea, diferente ángulo de inclinación, donde difieren de . Se define la curvatura como la razón entre el cambio del ángulo respecto a la longitud del arco. Esto es

Pero si queremos lamedida curvatura justo entre dos puntos que están muy cercanos, es decir, la diferencia entre sus distancias tiende a 0, entonces tomamos el límite.

Notamos que el límite es justo la derivada del ángulorespecto a s. Pero cambiando convenientemente

He cambiado la expresión anterior, porque nosotros podemos conseguir que dependa de , y también dependa de fácilmente a continuación.
Como es lapendiente de , entonces , luego , luego .
Sabemos que la longitud del arco de la una curva desde un punto hasta es

Derivando esa función, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo

Entonces

Luego,sustituyendo


Luego, hemos obtenido la fórmula de la medida puntual de la curvatura de una función.
Ejemplo:
Si , entonces y . Sustituyendo

Y esto es cierto, pues las rectas ni siquiera tienencurva, por lo que no tienen medida en cualquier punto.
La fórmula anterior sólo es válida obviamente para funciones , pero también existen funciones paramétricas. Por ejemplo, una circunferencia yuna elipse no la podemos tener como una función , pero si la podemos tener como y , donde t varia.
Dadas y , entonces
luego donde y
Finalmente, sustituyendo

Ejemplo: Dada una elipse de la formaSi queremos saber la curvatura en

Si queremos saber la curvatura en
Donde a y b son constantes que dependen de la ecuación de la elipse. Obviamente la curvatura en los puntos anteriores deberáser diferente, pues los vértices de una elipse tienen curva diferente. También existen parametrizaciones de otras curvas, y la de la elipse funciona porque

Donde t que varía desde hasta , nos da...