Demostraci N Simpson Un Tercio

U.N.N.O.B.A
C´alculo Num´erico - Integraci´on
M´etodos de Simpson.
Prof. Gustavo D´ıaz Ciarlo

1.

Recordatorio sobre integraci´
on por partes

Supongamos que queremos hallar mediante el m´etodo deintegraci´on por partes la
siguiente integral
I=

(x − α)(x − β)dx

Llamando u = x − α y dv = (x − β)dx, tenemos que du = dx y v = (x − β)dx =
Por lo tanto la integral ser´a:

(x−β)2
.
2

(x − β)2
(x −β)2
(x − α)(x − β)dx = (x − α)
−
dx
2
2
(x − β)2 (x − β)3
= (x − α)
−
2
6

2.
2.1.

Regla de Simpson 1/3.
Sin dividir el intervalo [a, b]

El m´etodo corresponde a la aproximaci´on mediante laformula de Newton-Cotes para
el caso n = 2, esto es:
b

b

f (x)dx ∼
=

a

f2 (x)dx
a

donde f2 (x) es el polinomio de Lagrange de grado 2 que aproxima f (x).
Tomemos para construir el polinomiointerpolador de Lagrange los puntos (a, f (a)),
(xm , f (xm )) y (b, f (b)) donde xm es el punto medio del intervalo [a, b]. Luego f2 es:
(x − xm )(x − b)
(x − a)(x − b)
+ f (xm )
(a − xm )(a − b)
(xm − a)(xm −b)
(x − xm )(x − a)
+ f (b)
(b − a)(b − xm )

f2 (x) = f (a)

1

Si tomamos h =

b−a
2

= xm − a = b − xm , tenemos que:
(x − a)(x − b)
(x − xm )(x − b)
+ f (xm )
(−h)(−2h)
(h)(−h)
(x − xm )(x − a)
f(b)
(2h)(h)
(x − xm )(x − b)
(x − a)(x − b)
f (a)
+
f
(x
)
m
2h2
−h2
(x − xm )(x − a)
f (b)
2h2
queda:

f2 (x) = f (a)
+
=
+
Integrando entre a y b nos
b

b

f (a)
2h2
f (b)
+
2h2

(x − xm )(x − b)dx+

f2 (x)dx =
a

a
b

f (xm )
−h2

b

(x − a)(x − b)dx
a

(x − a)(x − xm )dx
a

Cada una de las integrales las podemos calcular mediante el m´etodo de integraci´on
por partes.
b
2
(x − xm )(x − b)dx= h3
3
a
b

4
(x − a)(x − b)dx = − h3
3

b

2
(x − a)(x − xm )dx = h3
3

a

a

Luego,
b

f (a) 2 3 f (m
4
f (b) 2 3
· h +
· h
− h3 +
2
2
2h
3
−h
3
2h2 3
h
=
· (f (a) + 4f (xm ) + f (b))
3
h
=
· (f (a)+ 4f (xm ) + f (b))
3

f2 (x)dx =
a

Por lo tanto

b
a

2.2.

b−a
f (x) dx ∼
· (f (a) + 4f (xm ) + f (b))
=
6

(1)

Dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos

Si dividimos el intervalo [a,...