Demostracion, Teorema De Distributividad

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Sean P, Q y Renunciados. Entonces: i) P(QR)(PQ)(PR) ii) P(QR)(PQ)(PR) Demostración i) Para demostrar que P(QR)(PQ)(PR) debemos probar que P(QR)(PQ)(PR) y que (PQ)(PR) P(QR). Probemosel primer condicional (). Por el teorema de adición de implicaciones sabemos que (PQ)(PR)(PP(QR)); luego, por definición del condicional, idempotencia y ley de De Morgan, se tiene que(PQ)(PR)(P(QR)); de donde (P(QR)) ((PQ)(PR)) por contrarrecíproco; luego por ley de De Morgan y teorema de doble negación, se tiene que P(QR)(PQ)(PR) (*) Ahora probemos el segundocondicional (). Sabemos que PQP y PRP en virtud del teorema de simplificación; luego, (PQ)(PR)P (1) por el teorema de adición de implicaciones e idempotencia. Por otro lado, es cierto quePQQ por el teorema de simplificación y que QQR por el axioma de adjunción; de donde se puede deducir que PQQR (2) por transitividad. De igual forma se puede decir que PRR por el teorema desimplificación y que RQR por el axioma de adjunción y el teorema de conmutatividad; de donde se puede deducir que PRQR (3) por transitividad; así que de (2) y (3) se puede concluir, por los teoremas deadición de implicaciones e idempotencia que (PQ)(PR) QR (4). De (1) y (4) se puede deducir que (PQ)(PR)P(QR)(**) por los teoremas de adición de implicaciones e idempotencia. De la conjunciónentre (*) y (**) y por la definición del bicondicional se concluye que P(QR)(PQ)(PR). ii) Para demostrar esta segunda parte del teorema usamos la parte i) ya demostrada, así: Sabemos queP(QR)(PQ)(PR); luego, por teorema de equivalencias se puede decir que  (P(QR))((PQ)(PR)); de donde podemos deducir que P(QR)   (PQ)  (PR)) por teorema de...