Demostracion del teorema de green

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN
c Px,ydx+Qx,ydy= R δQx,yδxδPx,yδy dy dx
Este Teorema, llamado también Teorema de Green en el Plano, se demuestra como sigue:
C es una curva cerrada simple (Unarecta paralela a los ejes, corta en solo dos puntos a C)

R δPδydy dx= abY1Y2δPδydy dx
abPx,Y2-Px,Y1 dx= - abPx,Y2 dx – abPx,Y1 dy
=C P dx
Similarmente si las ecuaciones de la curva son x1(y),x2(y)
Luego sumando:
C P dx+ Qdy = R δQδx- δQδy dy dx

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE STOKES
Veamos en primer lugar la demostración del teorema de Stokes en el caso particular de una superficie Sdefinida por la función explícita z = f (x,y), (x,y ) ∈ D. con f ∈ C2 y D una región plana simple cuya frontera C1 es la proyección de la frontera de S sobre el plano XY.
Sea pues el campo vectorialF = (P, Q, R) de clase C(1) en una región que contiene a S. Entonces:
S rot F= D -∂f∂x∂R∂y-∂Q∂z-∂f∂y∂P∂z-∂R∂x+∂Q∂x-∂P∂y dxdy.
Por otra parte, si C1 se parametriza por x=xt, y=yt, z=fxt,yt, con t ϵ[a,b]. Por tanto,
C F= ab[P ∙x't+Q∙y't+R∙z'(t)]dt
=ab[P ∙x't+Q∙y't+R∙(∂f∂x∙x't+∂f∂y∙y't)]dt
=C1 P+R∙∂f∂xdx+Q+R∙∂f∂ydy=(por el teorema de Green)
=D ∂∂xQ+R∙∂f∂y-∂f∂yP+R∙∂f∂xdxdy
=D∂Q∂x+∂Q∂z∙∂z∂x+∂R∂x∙∂f∂y+∂R∂z∙∂z∂x∙∂f∂y+R∙∂2f∂y∂x-∂P∂y-∂P∂z∙∂z∂y-∂R∂y∙∂f∂x-∂R∂z∙∂z∂y∙∂f∂x-R∙∂2f∂x∂y dxdy.
Al simplificar la expresión del integrado, llegamos al mismo resultado que Srot F. Veamos ahora la demostración del casogeneral. Para ello, sea Φ : D -> R3 una parametrización de la superficie, de clases C(1) en un abierto que contiene a D∪ ∂D.
Si hacemos:
Fx, y, z=Px, y, z, Q x,y,z, Rx,y,z y Φu,v=Xu,v,Yu,v,Zu,vpor definición de integral de línea.
C F= C P dx+Q dy+R dx.
Por otra parte,
D ∂R∂y-∂Q∂z∙∂Y,Z∂u,v+∂P∂z-∂R∂x∙∂Z,X∂u,v+∂Q∂x-∂P∂y∙∂X,Y∂u,vdudv.
Por tanto basta probar que:
C Pdx=D[∂P∂z∙∂Z,X∂u,v-∂P∂y∙∂X,Y∂u,v] dudv,
C Qdy=D [∂Q∂x∙∂X,Y∂u,v-∂Q∂z∙∂Y,Z∂u,v] dudv,
C Rdz=D [∂R∂y∙∂Y,Z∂u,v-∂R∂x∙∂Z,X∂u,v] dudv.
Veamos la comprobación de la primer igualdad (las demás son completamente...