demostracion

Teorema

Si G’(x) = F’(x) para todo x en algún intervalo [a, b], entonces G(x) = F(x) + c.

Demostración

Supóngase que se define g(x) = G(x) – F(x). Entonces, como G’(x) = F’(x), resulta que g’(x) = G’(x) –F’(x) = 0 para todo x en [a, b]. Si y son dos números arbitrarios que satisfacen , del Teorema del Valor Medio se deduce que existe un número k en el intervalo abierto (,) para elcual .
O bien:



Pero g’(x) = 0 para todo x en [a, b]; en particular g’(k) = 0. Por consiguiente, o bien . Puesto que, por hipótesis, y son dos números diferentes cualesquiera, en el intervalo, y como los valores funcionales y son iguales, debe concluirse que la función g(x) es una constante c. Así que g(x) = c implica que:

G(x) – F(x) = c.

O bien:

G(x) = F(x) + c.


Área bajola curva
4. Primero introduciremos la idea del “cambio acumulado de una función”desde dos puntos de vista diferentes. Uno a través de las derivadas yantiderivadas; el otro, a través de las diferenciales y las integrales.Conjugando las dos visiones para el “cambio acumulado”, arribaremos al(segundo) teorema fundamental del cálculo, en el cual interactúan loscuatro elementos fundamentales: laderivada, el diferencial, la antiderivaday la integral. JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 4 / 35
5. DerivadaLa idea central de la visión geométrica infinitesimal es: “una porción infinitamente pequeña de ua curva . . . puede considerarse que es recta”Sea f una función polinomial graficada en un plano cartesiano con puntos(x, f (x)). A partir de un punto en x, dejamos una longitudinfinitamentepequeña, esto es un diferencial de x (dx), respecto a este diferencial setendrá un incremento infinitamente pequeño en y , es decir un diferencial eny (dy ). Utilizando la idea central se genera un tramo infinitamentepequeño y recto de la gráfica de la función. El tramo infinitesimal de lacurva, corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyoscatetos son dx y dy . JGHR (BUAP) Áreabajo la curva 16 de noviembre de 2011 5 / 35
6. Este triángulo infinitesimal lo llamaremos triángulo característico. Figura: Triángulo característico JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 6 / 35
7. Notar que la recta pasa por los puntos (x, f (x)) y (x + dx, f (x + dx))entonces podemos obtener su pendiente: f (x + dx) − f (x) f (x + dx) − f (x) = (x + dx) − x dxhay que recordarque la derivada en cualquier punto o razón de cambioinstantánea es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en aquelpunto y se denota por f (x) entonces: f (x + dx) − f (x) f (x) = dxobservando que dy = f (x + dx) − f (x) podremos identificar a la derivadacomo el cociente de dos diferenciales: dy f (x) = dx JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 7 / 35
8. Regla paraoperar con diferencialesUna situación concreta nos ayudará a establecer la regla para operar condiferenciales.Sea f : R → R , f (x) = x 3 . Utilizando los conceptos de límites paraencontrar la derivada sabemos que f (x) = 3x 2 .Ahora busquemos f (x) sabiendo que dy f (x) = dxasí dy = f (x + dx) − f (x) = (x + dx)3 − x 3 = x 3 + 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 − x 3 = 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 JGHR (BUAP)Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 8 / 35
9. pero para obtener la derivada debemos hacer que dy = 3x 2 dxpor eso una solución sería que dy = 3x 2 dx, de ahí que en este caso la reglasería “eliminar de 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 los términos cuyos diferencialestengan un exponente mayor a uno ”. JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 9 / 35
10. Al estar trabajando condiferenciales, estamos trabajando con el infinito, espor eso que se establece la siguiente regla. Regla para operar con diferenciales En una expresión que esté formada por la suma de términos que contienen diferenciales: “los términos que contienen diferenciales elevados a una potencia mayor o igual a dos, se eliminan al sumarse con términos que contienen un diferencial de potencia uno” JGHR (BUAP)...