Demostración De D En Compuesta

Demostración de: 

C0  Cn *(1  i )  n  Cn *(1  d ) n  
  PRIMER PASO: ¿De dónde sale d ?    Conocemos cómo se genera el interés postpagable   

   

Interés postpagable(situado en t1 )  I1  C0 * i
 

Expresión (1)  

El interés generado por anticipado consiste en valorar en  t0 el interés que hubiera pagado (cobrado) de  forma normal en  t1     

Interés anticipado (situado en t0 )  I1 *(1  i ) 1  C0 * i *(1  i ) 1  C0 * d    
d

Hemos sustituido I1 por su valor en la expresión (1) y acontinuaciónhemos decidido llamar d al número que multiplica a C0 . De este modo tenemos un único número que al multiplicarlo por C0 nos proporciona   el importe del interés pagado por anticipadopara el primer periodo. A ese número d lo llamámos tipo de interés anticipado. Interés anticipado (situado en t0 )  C0 * d
  SEGUNDO PASO: ¿Qué relación hay entre i y d ?   Acabamos de ver que:                                            d 

i        Expresión (2)  (1  i )

Despejando i de esta expresión tenemos que:       i 

d      Expresión (3)  (1  d )1 

 

Demostración de la expresión (3) partiendo de la expresión (2): d  i *(1  i ) 1  d *(1  i )  i d  di  i d d  i  di  i (1  d )

 

d *(1  d ) 1  i
   TERCER PASO: ¿Cómo quedaría el factor de capitalización (1+i) expresado en función de d ?    Sustituimos en (1+i) el valor de i según la expresión (3)   

1  i   1  


d  (1  d )  d   1     1 d   1 d   1 d 
 

1  i   1  d 

1

Expresión (4)

   CUARTO PASO: ¿Cómo quedaría la fórmula de capitalización compuesta en función de d ?   

Sustituyendo 1  i  por (1  d ) 1 según acabamos de ver en la expresión (4) tendremos:
 

C0  Cn *(1  i )

n

 Cn *(1  d )

n

2   ...