Derivación De Vectores

Semana 1 - Clase 3

11/03/09

Tema 1: Algebra Vectorial

Derivaci´n e vectorial
o
1.

Vectores variables

Los vectores podr´n ser constantes o variables. Ahora bien, esa caracter´
a
ıstica se verificar´ tanto en las componentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector es
a
variable podr´n variar su m´dulo, su direcci´n, su sentido o todo junto o separado. Obviaa
oo
mente esta variabilidad del vector depender´ de la base en la cual se exprese
a
A (t) = Ak (t) ek (t) = Ak ek (t)
N´tese que hemos utilizado una base {ek (t)} de vectores variables a diferencia de la tradio
cional base de vectores cartesianos, los cuales son constantes en m´dulo direcci´n y sentido
o
o
(ver los cuadrantes I y II de la Figura 1). M´s a´n, tal y como se muestra encuadrante IIc
au
de la Figura 1 todo vector variable podr´ ser expresado como la suma de uno variable, A (t) ,
a
mas otro constante c
A (t) = A (t) + c

2.

Derivaci´n
o

De esta manera, cuando uno piensa en un vector variable A (t) uno r´pidamente piensa
a
en establecer un cociente incremental tal y como se muestra en
∆A (t)
dA (t)
A (t + ∆t) − A (t)
= l´
ım
=
∆t→0
∆t→0
∆t
∆t
dtl´
ım

el cuadrante IV de la Figura 1 ilustra gr´ficamente este cociente incremental. Como siempre,
a
las propiedades de esta operaci´n derivaci´n ser´n
o
o
a
d
[A (t) + B (t)]
dt
d
[α (t) A (t)]
dt
d
[A (t) · B (t)]
dt
d
[A (t) × B (t)]
dt

d
d
A (t) + B (t)
dt
dt
d
d
=
α (t) A + α (t)
A (t)
dt
dt
d
d
=
A (t) B + A (t)
B (t)
dt
dt
d
d
=
A (t) × B + A(t) ×
B (t)
dt
dt
=

(1)
(2)
(3)
(4)

Ahora bien, esto implica que
A (t) = Ak (t) ek (t) ⇒

d Ak (t) ek (t)
d Ak (t)
d [A (t)]
d [ek (t)]
=
=
ek (t) + Ak (t)
dt
dt
dt
dt

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida
e

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11/03/09

Figura 1: Vectores variables

con lo cual hay quetener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional
de base y componentes. Habr´ sistemas de coordenadas (bases de vectores) que ser´n consa
a
tantes y otros en los cuales sus vectores bases cambiar´n en su direcci´n. El primer t´rmino
a
o
e
representa la variaci´n del m´dulo y el segundo muestra la contribuci´n de los cambios en
o
o
o
direcci´n del vector. M´sa´n, mostraremos apoy´ndonos en la ilustraci´n del cuadrante el
o
au
a
o
cuadrante III de la Figura 1 que, independientemente del sistema de coordenada el cambio
en el m´dulo apunta en la direcci´n del vector, mientras que las contribuciones en direcci´n
o
o
o
apuntan en la direcci´n perpendicular al vector. Esto es
o
d |A (t)|
d [A (t)]
ˆ
ˆ
=
u + |A (t)| u⊥
dt
dt

ˆˆ
con u · u⊥= 0

Es f´cil convencernos de la forma del primer t´rmino. Siempre podemos representar un
a
e
vector como su m´dulo y un vector unitario en la direcci´n apropiada. Esto es
o
o
ˆ
A (t) = |A (t)| u

⇒

ˆ
d [A (t)]
d [|A (t)| u (t)]
d |A (t)|
d [ˆ (t)]
u
ˆ
=
=
u (t) + |A (t)|
dt
dt
dt
dt

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

2

Universidad de Los Andes, M´rida
eSemana 1 - Clase 3

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11/03/09

adicionalmente
d |A (t)|2
d [A (t) · A (t)]
d |A (t)|
d [A (t)]
|A (t)| = A (t)·A (t) ⇒
≡
⇒ 2 |A (t)|
≡ 2A (t)·
dt
dt
dt
dt
2

con lo cual
d [A (t)]
A (t)
d |A (t)|
·
≡2
dt
2 |A (t)|
dt

⇒

d |A (t)|
d [A (t)]
ˆ
= u (t) ·
dt
dt

ˆ
u(t)

para que finalmente podamos obtener

ˆ
u (t)·

d [ˆ (t)]u
d [A (t)]
d |A (t)|
ˆ
ˆ
= u (t)·
u (t) + |A (t)|
dt
dt
dt

⇒


ˆ
 u (t) · d [A (t)] = d |A (t)|


dt
dt





ˆ
u (t) ·

d [ˆ (t)]
u
=0
dt

Es decir que el cambio en el m´dulo de un vector se manifiesta en la direcci´n del
o
o
mismo vector, tal y como era intuitivo suponer. Adicionalmente vemos que el vector siempre
ser´ perpendicular a su...