Derivación

DERIVACIÓN POR INCREMENTACIÓN: Cuando una variable pasa de un valor a otro valor, se dice que
dicha variable ha sufrido un INCREMENTO.
El incremento que sufre una variable al pasar de un valor aotro, se obtiene restándole al valor final el valor
inicial de la variable; si el incremento resulta negativo, se llama: DECREMENTO.
Si el incremento lo sufre la variable independiente x, éste serepresenta por el símbolo x, que se lee “Delta
x”.
Si el incremento lo sufre la variable dependiente y, éste se representa por el símbolo y, que se lee “Delta y”.

Para calcular la DERIVADA PORINCREMENTACIÓN de una función, se tiene una REGLA GENERAL
PARA LA DERIVACIÓN que consta de los siguientes pasos:
PRIMERO: En la función dada, se sustituye a y por y+y y a x por x+x.
SEGUNDO: A lafunción incrementada se le resta la función original, obteniéndose el valor de y.
TERCERO: Se divide y y su valor entre x.
CUARTO: Se calcula el límite de este cociente haciendo que x tienda acero; el límite así hallado es la
derivada buscada, o sea: es decir: la derivada de y con respecto de x.
Ejemplo 1:
Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y).
Y+ ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x +3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendola función incrementada por .
∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función.
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x =3x2 + 4x – 3

ejemplo 2:
Y = √2x – 6
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y).
Y = √2x – 6
Y + ∆Y = √2(x + ∆x) – 6
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la...