Derivacion

DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. Elprocedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y sellama función implícita de x.

Por ejemplo:
define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Unode los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar , o lo que es lomismo despejar y’.

Ejercicio 1.
Hallar dy/dx o y’en la función .
Solución
Calculando la derivada:

Derivando:

Pasando términos semejantes:

.

Factorizando:

Es importante hacer notarque, en general, el resultado contendrá tanto a x como a y.
Derivada  parcial
 
La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto ala variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia , dejando a fija y otra según cambia , dejando a fija.
Suponga quedejamos variar sólo a , dejando a fija, digamos , en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber . Si tiene una derivada enentonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.
 
  |  Definición  (derivada parcial) |
  | Sea una función dedos variables y sea , entonces la derivada parcial de con respecto a en es
siempre y cuando el límite exista. De forma similar definimos la derivada parcial de con respecto a en por |