Derivacion

Definición analítica

Se llaman funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (denotado cosh o ch), seno hyperbólico (senho sh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas, como la tangente(tanh o th), cotangente (coth), la secante (sech) y la cosecante (cosech) hiperbólicas:
Coseno hiperbólico:

es la parte par de la exponencial
Seno hiperbólico:

es la parte impar de laexponencial
Tangente hiperbólica:


Cotangente hiperbólica:

, definida sobre

y más generalmente sobre


Secante hiperbólica:


Cosecante hiperbólica:

, definida sobrey más generalmente sobre

.
Sh, th, coth y csch son funciones impares mientras que ch y sech son pares.

Definición geométrica

De la misma manera que las funciones trigonométricaspermiten localizarse sobre el círculo trigonométrico, las funciones hiperbólicas dan la posición de un punto cualquiera de la rama positiva de la hipérbola de ecuación

(en un sistema de coordenadasortonormal).
Un punto A(ch a, sh a) pertenece al esta hipérbola porque sus coordenadas verifican su ecuación, concretamente .
Esto equivale a decir que el sistema es una representaciónparamétrica (o ecuación paramétrica) de esta rama de hipérbola.
Sin embargo lo más sorprendente es que el parámetro a tiene una interpretación geométrica sencilla: es el doble del área delimitada por eje deabscisas, la recta (OA) y la hipérbola (superficie dibujada en azul). La semejanza con la trigonometría circular es llamativa y deja entrever que existe un vínculo muy profundo entre ambas geometrías,la circular (euclídea) y la hiperbólica.
Prueba: El triángulo OAB tiene como área

y el área azul

más él del triángulo OAB mide, integrando para con las ordenadas:

.
El cambio devariable en la integral anterior da: . Luego







Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:













Las...