derivada y su aplicacion

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES
1.- ¿Qué es la derivada?
La pendiente de la tangente a la curva en un punto.

La derivada es uno de los conceptos importantes del cálculo y es tal vez el
concepto más importante del cálculo infinitesimal.
2.- ¿Qué es la velocidad instantánea?
Es el límite de la velocidad media cuando ∆t tiende a cero, es
decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.3.- ¿Cuáles son las aplicaciones de la derivada?
Sus aplicaciones son muy variadas entre las que podemos contar el cálculo de la
rapidez con la que cambia una magnitud determinada, y es por eso que la
derivada se aplica en la física, la química, la biología y la economía.
4.-definición de la derivada de una función.
El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamenterelacionado con la noción de límite. así, la derivada se entiende como la variación
que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos
de su dominio suficientemente próximos entre sí. la idea de instantaneidad que
transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los
fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.
5.-variación de unafunción.
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su
dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). cuando esta diferencia
es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función
es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en
un intervalo [a, b] al cociente siguiente:El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los
puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).
Cuando los dos puntos del intervalo [a, b] están lo suficientemente próximos entre
sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso,
el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente
pequeño.6.-Derivada de una función en un punto.
Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se
llama derivada de la función en ese punto, denotada como f (a), al
siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.
7.- ¿Cómo se le domina al proceso de encontrar la derivada de unafunción?
Se le domina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área
de las matemáticas conocida como cálculo.
8.- ¿Dónde se aplica la función diferenciable?
Se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales
según cualquiera de las variables (el argumento de una función de varias variables
pertenece a un espacio del tipo
de dimensión nfinita).

9.- ¿Cómo se entiende la derivada?
Se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea,
es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí.
10.- ¿Cómo se define la variación de la función?
Entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f
(x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función escreciente en el punto; si es
negativa, la función es decreciente.

11.- Interpretación geométrica de la derivada.
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de
la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante
pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lotanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente
en el punto (a, .f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a) .
ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el
punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la
derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la
gráfica de...