Derivadas De Una Función Elevadas a Una Potencia.

∎16. Utilice la formula de la potencia para encontrar
(e) ddx x=ddx x1=1∙x1-1=x0= 1 (porque x0=1)
(f) ddxx2=2x2-1 ∎16

Teorema 2 si u(x) es una función diferenciable de x y c esuna constante, entonces.
ddx(cu)=cdudx
Esto es la derivada del producto de una constante y una función de x es igual al producto de la constante y la derivada de la función.
EJEMPLO:
(a)ddxcxn=cddxxn=cnxn-1=ncxn-1
(b) ddt4t=ddt(4t-1)=4ddx(t-1)=4-1∙t-2=4t2
(c) ddu(2u)=ddu2u12=2ddu(u12)=2∙12u1/2=u-1/2

Teorema 3 Si u(x) y u(x) son dos funciones diferenciables de x, entonces.ddxu+v=dudx+dvdx
En otras palabras, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones.

EJEMPLO 4 Calcule dy/dxsi y = x2+√x
Solución La función dada es lasuma de x2 y x1/2. En consecuencia, por el teorema 3, podemos diferenciar estas dos potencias por separado.
dydx=ddx(x2)+ddx(x12)=2x+12x-1/2

Respuesta (a) 4x3; (b)12 t-1/2; (c) eue-1; (d) laformula de la potencia no puede utilizarse cuando el exponente no es una constante. La respuesta no es x∙xx-1.
Este teorema puede extenderse de inmediato a la suma de cualquier numero de funcione ytambién a diferencias entre funciones. Por ejemplo:
∎17.Encuentre dydx si ay=4x3-2x3 by=x2x2+1.

ddxu-v=dudx-dudx
ddxu+v-w=dudx+dvdx-dwdx
Etcétera.
EJEMPLO 5.- Determine la derivada de 3x4-5x3+7x+2con respecto a x.
Solución Sea y=3x4-5x3+7x+2. se sigue que.
dydx=ddx3x4-5x3+7x+2=ddx3x4-ddx5x3+ddx7x+ddx2.
Usamos el teorema 3 a fin de expresar la derivada de la suma 3x4-5x3+7x+2 como la suma delas derivadas de 3x4,-5x3,7x y 2. Calculando estas cuatro derivadas, obtenemos.
dydx=34x3-53x2+71x0+0=12x3-15x2+7
Porque x0=1. ∎17
Respuesta
(a) 12x2+6x4
(b) 6x2+1.

Reconsidere el ejemplo2 de la sección 11-3. Utilizando los métodos de esta sección podemos obtener la respuesta con mucha mas facilidad que antes. Porque si fx=2x2+3x+1, entonces.
f1x=2∙2x+3∙1+0=4x+3.
Terminado.
Con...