Derivadas implicitas

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimientose conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama funciónimplícita de x.

Por ejemplo:
[pic] define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de losprocedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar [pic], o lo que es lo mismo despejar y’.Ejercicio 1.
Hallar dy/dx o y’en la función [pic].

Solución

Calculando la derivada:
[pic]

Derivando:

[pic]

Pasando términos semejantes:

[pic].

Factorizando:

[pic]

[pic]

Esimportante hacer notar que, en general, el resultado contendrá tanto a x como a y.

Ejercicio 2.
Encontrar la derivada de [pic]

Solución

Se trata de una función implícita, como se mencionóanteriormente podemos encontrar su derivada, despejando y y realizando la derivación con respecto a x.
Despejando y
[pic]
una vez despejada y, podemos obtener su derivada
[pic], realizandolas operaciones para simplificar la expresión tenemos:
[pic].
En caso de que sea posible despejar y, la derivación implícita es muy sencilla, sin embargo esto no siempre es posible.Ejercicio 3.
[pic]

Solución
Ya que mencionamos la formula para encontrar derivadas implícitas era:

[pic]
Primeramente obtenemos la derivada parcial de la función con respecto a la variable x, esdecir [pic]; siendo la función: [pic]

[pic], simplificando:
[pic]
Obteniendo la derivada parcial de la función con respecto a y tenemos:

[pic]; simplificando:
[pic]

Sustituyendo...