derivadas y limites

Universidad de San Carlos de Guatemala
Fac. de Ingenier´ıa, Esc. de Ciencias
Departamento de Matem´
atica

Curso: Matem´atica B´
asica 2
Jefa de ´area: Inga. Silvia Hurtarte
Elaborado por: J. C. Bonilla

—proyecto # 1—
L´IMITES Y DERIVADAS

Elaboraci´
on del informe
En cada secci´
on de Matem´
atica B´
asica 2, el catedr´atico y su auxiliar decidir´an si el informe es individual
o en grupospeque˜
nos. Ellos pueden adem´
as solicitar condiciones especiales en la entrega de dicho informe,
como la elaboraci´
on de una introducci´
on, o un comentario, por decir algunas. En cualquier caso, debe
ser entregado en hojas en blanco, tama˜
no carta, y las soluciones de los problemas escritas a mano. Se
except´
uan algunos incisos, que deben ser elaborados en Mathematica o Geogebra, seg´
un seindique.
En caso de que la entrega en su secci´
on sea en grupo, deben colaborar todos los integrantes de manera
justa. Se debe elaborar una tabla que indique qu´e inciso fue resuelto por cu´al integrante, y no se permite
que un estudiante se dedique exclusivamente a las gr´aficas, sino que la letra de todos los miembros
debe aparecer en el informe.

Problemas a resolver
La identidad trigonom´etricapitag´
orica: sen2 θ + cos2 θ = 1, es fundamental en la resoluci´on de problemas geom´etricos. Nuestro primer objetivo ser´a demostrarla haciendo uso de algunos resultados b´
asicos
del c´alculo. Por supuesto, para que esta demostraci´on tenga alguna utilidad, deber´ıamos ser capaces de
explicar qu´e son el seno y el coseno, por qu´e la derivada del seno es el coseno, y por qu´e la derivada delcoseno es el negativo del seno, todo ello sin hacer uso del teorema de Pit´agoras. Esto puede ser logrado,
incluso es posible definir las funciones trigonom´etricas sin recurrir a ning´
un concepto geom´etrico, pero no
lo haremos aqu´ı (se necesita teor´ıa de la matem´atica intermedia 1).

1

a Considere la funci´
on f (θ) = sen2 θ + cos2 θ, sin la suposici´on de que sea igual a 1. Derive f (θ)respecto de θ.
b ¿Qu´e tipo de funciones son aquellas cuya derivada toma el valor calculado en el inciso anterior?
c Halle el intercepto con el eje y de la funci´on f (θ). Esto se hace igualando a cero la variable
independiente. ¿A qu´e conclusi´
on llega respecto de la funci´on f (θ)?
A continuaci´
on verificaremos un par de l´ımites trigonom´etricos que usted debi´
o haber memorizado anteriormente. Elprimero de ellos es:
sen θ
=1
θ→0 θ
l´ım

Vamos a probar que en efecto vale 1, y para ello emplearemos la t´ecnica del emparedamiento, que
dice que si tres funciones est´
an ordenadas de menor a mayor en un intervalo, y si la menor y la
mayor tienen el mismo l´ımite cuando la variable tiende a un valor fijo en el intervalo, entonces la de
enmedio debe poseer tambi´en ese mismo l´ımite.

Figura 1:Construcci´
on geom´etrica
2

a Utilizando Geogebra elabore una copia de la Figura 1. El punto A deber´ıa poder deslizarse
sobre el borde del c´ırculo. Al final, haciendo click derecho en el fondo de la gr´afica, puede elegir
la opci´
on de remover los ejes. Si el centro del c´ırculo est´a en el origen, puede emplear una recta
perpendicular al eje horizontal, que pase por A, para dibujar elsegmento vertical AB (el cuarto
bot´on, en la banda de arriba tiene una flechita que desglosa un men´
u, en ese men´
u elija “recta
perpendicular”. Luego haga click sobre el eje x y despu´es sobre el punto A). Marcar el punto de
intersecci´
on B con el eje horizontal (eso se hace con el bot´on “nuevo punto”), ocultar la recta
AB y re-dibujar un segmento finito en su lugar (hacer lo mismo con los otrossegmentos). Con
los ejes ocultos, mueva A reduciendo el ´angulo, haciendo que se aproxime a cero. Notar´
a que
las ´areas mostradas en la figura 2 tienden a volverse similares entre s´ı (y todas ellas tienden a
cero). En su proyecto, imprima la gr´afica con el valor de θ que usted prefiera. Rebautize todos
los puntos empleando letras iniciales de sus nombres y apellidos (despu´es de usar las...