derivasas

April 15, 2009
CAP´
ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

En este cap´
ıtulo D denota un subconjunto abierto de Rn .

´
1. Introduccion
Definici´n 1.1. Dada una aplicaci´n f : D → R, definimos la derivada parcial
o
o
segunda de f como
Dij f =

∂2f
∂
=
∂xi ∂xj
∂xi

∂f
∂xj

De forma an´loga, podemos definir las derivadas de orden superior.
a
Ejemplo 1.2. Consideremos lafunci´n
o
f (x, y, z) = xy 2 + ezx
entonces
∂f
(x, y) = y 2 + zezx
∂x

∂f
(x, y) = xezx
∂z

∂f
(x, y) = 2xy
∂y

y por ejemplo
∂2f
(x, y) = z 2 ezx
∂x∂x

∂2f
(x, y) = xezx
∂x∂z

∂2f
(x, y) = xezx
∂z∂x

Vemos que
∂2f
∂2f
(x, y) =
(x, y)
∂x∂z
∂z∂x
Se puede comprobar que esto se verifica para todas las variables
∂2f
∂2f
(x, y) =
(x, y)
∂x∂y
∂y∂x

∂2f
∂2f
(x, y) =(x, y)
∂y∂z
∂z∂y

Ejemplo 1.3. Consideremos la funci´n
o

f (x, y) =

xy(x2 −y 2 )
x2 +y 2 ,

0,

La gr´fica de esta funci´n es la siguiente
a
o
1

si (x, y) = (0, 0);
si (x, y) = (0, 0).

CAP´
ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

2

Se comprueba f´cilmente que si (x, y) = (0, 0),
a
x4 y + 4x2 y 3 − y 5
∂f
(x, y) =
∂x
(x2 + y 2 )2

x5 − 4x3 y 2 − xy 4
∂f
(x,y) =
∂y
(x2 + y 2 )2

y que
∂f
(0, 0) = 0
∂x

∂f
(0, 0) = 0
∂y

Entonces
∂2f
(0, 0) = lim
x→0
∂x∂y

∂f
∂y (x, 0)

−

∂f
∂y (0, 0)

x−0

= lim

x→0

x
=1
x

y
∂2f
(0, 0) = lim
y→0
∂y∂x

∂f
∂x (0, y)

− ∂f (0, 0)
−y
∂x
= lim
= −1
x→0 y
y−0

por lo que
∂2f
∂2f
(0, 0) =
(0, 0)
∂x∂y
∂y∂x
Por otra parte, se puede comprobar que si (x, y) = (0,0) entonces
∂2f
∂2f
(x, y) =
(x, y)
∂x∂y
∂y∂x

CAP´
ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

3

El siguiente resultado proporciona condiciones suficientes bajo las cuales las
derivadas cruzadas coinciden.
Teorema 1.4. (Schwarz) Supongamos que para alg´n i, j = 1 . . . , n las derivadas
u
parciales
∂2f
∂f
∂2f
∂f
,
,
,
∂xi
∂xi ∂xj
∂xj
∂xj ∂xi
existen y son continuas en unabola B(p, r) con r > 0. Entonces,
∂2f
∂2f
(x) =
(x)
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
para cada x en la bola B(p, r).
Definici´n 1.5. Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → R. Decimos que
o
f es de clase
∂f
• C 1 (D) si todas las derivadas parciales ∂xi de f existen y son continuas en
D para todo i = 1 . . . , n.
• C 2 (D) si todas las derivadas parciales de f existen y son de clase C 1 (D).
•C k (D) si todas las derivadas parciales primeras

∂f
∂xi
de f existen y son de clase C k−1 (D) para todo i = 1 . . . , n.
Escribimos f ∈ C k (D).
Definici´n 1.6. Sea f ∈ C 2 (D). La matriz Hessiana de f en p es la matriz
o
D2 f (p) = H f (p) =

∂2f
(p)
∂xi ∂xj

i,j=1,...,n

Observaci´n 1.7. Por el teorema de Schwarz, si f ∈ C 2 (D) entonces la matriz
o
H f (p) es sim´trica.
e
´2. El Teorema de la funcion impl´
ıcita
En esta secci´n vamos a estudiar sistemas de ecuaciones no lineales. Por ejemo
plo,
x2 + zexy + z

=

1

3x + 2y + z

(2.1)

=

3

En general, es muy dif´ probar que existe soluci´n (y no siempre existe) o
ıcil
o
resolver de manera expl´
ıcita estos sistemas. Sin embargo, en Econom´ ocurre a
ıa
menudo que el modelo que estamosestudiando aparece descrito por un sistema de
ecuaciones como, por ejemplo, el sistema 2.1. Y nos gustar´ poder decir algo sobre
ıa
c´mo depende la soluci´n respecto de los par´metros. En esta secci´n estudiamos
o
o
a
o
esta pregunta.
En primer lugar observemos que un sistema de m ecuaciones y n inc´gnitas se
o
puede escribir de la forma

CAP´
ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

4f1 (u)

=

0

f2 (u)

=
.
.
.

0

fm (u)

=

0

n

n

donde u ∈ R y f1 , f2 , . . . , fm : R → R. Por ejemplo, el sistema 2.1 se puede
escribir como
f1 (u)

=

0

f2 (u)

=

0

con f1 (x, y, z) = x2 + zexy + z − 1 y f2 (x) = 3x + 2y + z − 3.
Una primera cuesti´n es c´mo son las soluciones del sistema 2.1. Comparao
o
ndo la situaci´n con un sistema...