Desarrollo en serie de fourier discreto

Desarrollo en serie de Fourier discreto

Supongamos una señal discreta x(n) periódica (periodo N); esto es x(n+N)=x(n).Sabemos que a nivel temporal esta señal se puede expresar, en elprimer periodo y usando deltas desplazadas, como:

Podemos plantear otra representación alternativa usando exponenciales complejas que, como ya hemos visto, son la base en el dominiofrecuencial, esto es:

Evidentemente el objetivo ahora es determinar X(k) y 〈; para ello algunas operaciones.

Ejemplo de DFS.

Consideramos la siguiente señal periódica aquí N=10

Aplicandola definición de DFS se tiene:

Agrupando exponenciales

Propiedades

Muestreo de la Transformada de Fourier de una secuencia discreta (I)

Sabemos que la Transformada deFourier de una secuencia discreta viene definida por la siguiente expresión:

U(k) es periódica (periodo N) se puede corresponder a los coeficientes de un DFS. Estoy interesado en la señaltemporal que se obtiene de esos coeficientes

Muestreamos (EN EL DOMINIO FRECUENCIAL) considerando N muestras; recordemos que X(jw) es periódica con periodo

Muestreo de la Transformada deFourier de una secuencia discreta

Si x(n) tiene longitud finita se puede recuperar dicha señal a partir de muestras de su Transformada de Fourier; no es necesario conocer dicha Transformadaen todas las frecuencias. La señal temporal obtenida usando dicho muestreo de la Transformada de Fourier se supone periódica por construcción; aunque a nosotros sólo nos interesa el primerperiodo.

Se define la Transformada Discreta deFourier (DFT) de una señal x(n) como:

La Transformada inversa queda definida como (ecuación de sintesis)

Si se define:

Sea la señalx(n); vamos a calcular su DFT con N=5. Implícitamente suponemos que se tiene la señal.

Ejemplo de DFT
Ahora consideramos N=10. Implícitamente suponemos que se tiene la señal