DESARROLLO INTEGRALES

INTEGRAR
Es la operación inversa de la derivación, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser
derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva, anti derivada o anti diferenciación, de f(x); dicho de otro modo las
primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).

DESARROLLO
Las ventas mensuales de una tiendason de $10000.00, pero se espera que disminuyan
mensualmente a una tasa de
, se conoce que para que la tienda
sobreviva debe vender $8000.00 al mes , como mínimo.
A.-) Encontrar S(t)

B.-) S(t=2)

−10𝑡 2/5 𝑑𝑡

−10

−10

7
50
𝑆 2 = − (2)5
7

𝑡 2/5 𝑑𝑡
7
𝑡5

7
5

50
𝑆 2 =−
2.64
7

+ 𝐶

𝑆 2 = −18.86

7

−10𝑡 5
+ 𝐶
7
5

𝑆 𝑡 =−

50 7
𝑡5 + 𝐶
7

SoluciónGeneral

C.-) Hallar cuando (t=?) sería rentable la tienda

𝑡 = 0 → 𝑆 = $ 10.000
𝑠 → 𝑦 = $10.000
𝐶. 𝐵.
𝑡 → 𝑥=0

10.000 = −10

0
7
5

7
5

8.000 = −

8.000 − 10.000 = −

+ 𝐶
−2.000 = −

50 7
𝑆 𝑡 =−
𝑡5 + 𝐶
7
Solución Particular
𝑆 𝑡 =

7
5

𝑡 + 10.000

7
50
(𝑡)5
7

7
50
(𝑡)5
7

−2000
7
1
= 𝑡5
−50
7

𝑪 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎

50
−7

7
50
(𝑡)5 +10.000
75
(280)7 =

5
7 7
𝑡5

→

𝒕 = 𝟓𝟓. 𝟗𝟕 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

RAZON DE CAMBIO
Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable cambia con respecto a otra, la
principal aplicación es la minimización o maximización de funciones; son usados en economía
como por ejemplo para minimizar costos y maximizar la calidad y las estimaciones de error.
1.-) Graficar la razón de cambio e indicar sies creciente o decreciente.

S' ( t ) = - 10 ( t ) ^ 2/5

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

S(t)
0.00
-10.00
-13.20
-15.52
-17.41
-19.04
-20.48
-21.78
-22.97
-24.08
-25.12

0.00
0

5

10

15

-5.00
-10.00
-15.00
-20.00
-25.00

-30.00

Series1

INTEGRAL INDEFINIDA
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.*Se representa por ∫ f(x) dx.
*Se lee: integral indefinida de f respecto de x
*∫ es el signo de integración.
*f(x) es el integrando o función a integrar.
*dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
*C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
*Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C
*Paracomprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
SOLUCION GENERAL
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en
una constante.
VARIABLE DE
INTEGRACION

∫ f(x) dx
INTEGRANDO

= F(x) + C
CONSTANTE
DE
INTEGRACION

2.-) Hallar la solución general.

−10𝑡 2/5 𝑑𝑡

-10 𝑡 2/5 𝑑𝑡

−10

7
𝑡5

7
5

7
−10𝑡 57
5

+ 𝐶

+ 𝐶

Solución General
𝑆 𝑡 =

50
−7

7
5

𝑡 + 𝐶

3.-) Representar gráficamente 4 modelos de soluciones particulares.
SOLUCION PARTICULAR
Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra, para diversos valores
enteros de C; Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación.
Una soluciónparticular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.
En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este valor particular de C. Esta
información se llama condición inicial (que abreviamos como c.i.), nombre debido al hecho que en las aplicaciones, generalmente
la variable independiente es el tiempo t.

S ( t )= (-10 ( t
)^7/5)/(7/5)+C

50.00
0.00
0

5

10

15

-50.00
-100.00

Series1
Series2

-150.00

Series3
Series4

-200.00

Series5

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

S(t)
0.00
-7.14
-18.85
-33.25
-49.75
-67.99
-87.76
-108.90
-131.28
-154.81
-179.42

S' ( t ) = - 10 ( t ) ^
2/5
C1 ( -5 )
-5.00
-12.14
-23.85
-38.25
-54.75
-72.99
-92.76
-113.90...