Desigualdades Cuadraticas

Desigualdades Cuadráticas |
Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:

con .
Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que lassoluciones de la ecuación cuadrática donde son

Además, fácilmente se verifica que y satisfacen las siguientes relaciones

La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquiertrinomio de la forma en todos los casos posibles.
Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que , pues en caso contrario,multiplicando la desigualdad por , esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con .
Se presentan dos casos
Caso 1 Si .
En este caso la ecuación cuadrática tiene raíces reales y , podemosfactorizar el trinomio en la forma , y la desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.
Caso 2 Si .
En este caso las raíces de la ecuación no son reales, sino complejas, y la factorización no sirvepara resolver la desigualdad.
Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:
Completando el cuadrado tenemos

Por lo tanto las desigualdades cuadráticas setransforman en su orden en

Como estamos suponiendo que y sabemos que , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.
Ejemplo 2.46. Resolvamos ladesigualdad
.
En este caso . Por lo tanto la ecuación tiene raíces reales que son

Luego la factorización de es

y la desigualdad original es equivalente a

Elaborando el diagrama de signostenemos

Vemos que la solución de la desigualdad es el intervalo
Ejemplo 2.47. Resolvamos la desigualdad .
En este caso tenemos que . Por lo tanto la ecuación no tiene raíces reales y de acuerdo ala teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad es todo .
Ejemplo 2.48.
Resolvamos la desigualdad .
La desigualdad es equivalente a .
Para esta última desigualdad tenemos que ....