4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades

Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primeros seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos axiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener una estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que las que se podrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, sepodrá construir un modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas no simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones físicas.
La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un ordentotal en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números reales positivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.
Axioma 1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+
Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple a ∈ R+ o -a ∈ R+ .
Axioma 1.9El número 0 no está en R+
Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se toma a < b como una relación entre dos números que satisface cuatropropiedades. Una de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir, incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una inconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de números positivos. Por lo tanto por razones heurísticas es mejorconsiderar las propiedades de orden de esta manera.
Definición Desigualdad.
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b •a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólosi es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.
De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedadesde desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.
TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:
i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b
ii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac< bc
iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
v) a ≠ 0 ⇒ a2 > 0
vi) 1 > 0
vii) a < b ⇒ -b > -a
viii) a < 0 ⇒ -a > 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo
xi) a > 0 ⇒ 1/a >0
xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d
Como ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan comoejercicio.
Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema
Demostración:
a < b => b-a > 0 por definición de <
pero
b-a = b-a + 0 axioma 5
= b-a + c+(-c) axioma 6

= b+(-a) + c + (-c) definición de resta

= b + c + (-a)+(-c) axioma 2

= b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, directo utilizando la definición de resta

=> a + c < b + c por...