Desigualdades Radmila Jose Antonio Y Rogelio

Introducci´
on

Este libro est´
a dirigido a estudiantes de las Olimpiadas de Matem´aticas que
quieren prepararse en el estudio de desigualdades, tema ahora frecuente en los
concursos de matem´
aticas de distintos niveles. En este volumen se presentan
las desigualdades cl´
asicas y desde luego las m´as u
´tiles para enfrentar y resolver
problemas de optimizaci´on.
Para la presentaci´on de lostemas, el libro se ha dividido en cuatro cap´ıtulos.
El cap´ıtulo 1 de desigualdades num´ericas contiene las desigualdades b´asicas. La
mayor´ıa de ellas son desigualdades num´ericas que en general carecen de una interpretaci´
on geom´etrica, sin embargo cuando es posible darla ´esta se incluye. Se
hace notar la importancia de algunas de ellas, por ejemplo, la desigualdad entre
la media geom´etrica yla media aritm´etica, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la
desigualdad del reacomodo, la desigualdad de Jensen, la desigualdad de Muirhead, entre otras. Para todas ellas, adem´as de su justificaci´on, se presentan
varios ejemplos que muestran c´
omo utilizarlas en problemas del tipo de olimpiadas de matem´
aticas. Tambi´en se hace notar c´omo la estrategia de sustituci´on
se utiliza para deducirvarias desigualdades.
En el cap´ıtulo 2 de desigualdades geom´etricas, se ejemplifica el uso de las desigualdades num´ericas b´
asicas del cap´ıtulo 1 para resolver problemas geom´etricos.
Se trabaja tambi´en, en esta parte, con desigualdades que tienen un fuerte contenido geom´etrico, iniciando con hechos b´asicos como la desigualdad del tri´angulo
y la desigualdad de Euler. Introducimos ejemplosdonde el car´acter sim´etrico en
las variables ayuda a resolver algunos problemas, se hace tambi´en ´enfasis en
c´omo los cambios de variable se utilizan para deducir varias de ellas. Resaltamos entre ´estos la transformaci´on de Ravi y la correspondencia entre una
desiguladad en t´erminos de las longitudes de los lados de un tri´angulo a, b, c y
las desigualdades correspondientes en t´erminos des, r y R, el semiper´ımetro, el

II

Introducci´
on

inradio y el circunradio del tri´angulo, respectivamente. Se incluyen tambi´en varios problemas geom´etricos cl´asicos haciendo hincapi´e en los m´etodos utilizados
para resolverlos.
En el cap´ıtulo 3 se presentan ciento veinte problemas de desigualdades que han
aparecido en concursos recientes, cubriendo todos los niveles desde olimpiadasnacionales, regionales hasta competencias internacionales.
En el cap´ıtulo 4, se dan las soluciones a cada uno de los doscientos diez ejercicios
de los cap´ıtulos 1 y 2, as´ı como a los problemas presentados en el cap´ıtulo 3.
La mayor´ıa de las soluciones de los ejercicios o problemas que han aparecido
en competencias internacionales de matem´aticas se extrajeron de las soluciones
oficiales de cadauno de los concursos. Esta es la raz´on por la cual no damos
cr´editos individuales por ellas.
Una gran parte de los ejercicios y problemas de desigualdades se pueden resolver
utilizando distintas t´ecnicas, es por ello que encontrar´
a algunos ejercicios repetidos, pero en diferentes secciones. Esto le indicar´a que puede encontrar, con
la t´ecnica desarrollada en la secci´on correspondiente, unamanera de resolver el
ejercicio utilizando dicha herramienta.
El material presentado en este libro ha sido acumulado durante los u
´ltimos
quince a˜
nos, principalmente durante las sesiones de trabajo con estudiantes que
han ganado el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas;
estos estudiantes se estaban preparando para las competencias internacionales
en las que M´exicoparticipa.
Quisieramos agradecer a Rafael Mart´ınez Enr´ıquez, Leonardo Ignacio Mart´ınez
Sandoval, David Mireles Morales, Jes´
us Rodr´ıguez Viorato y Pablo Sober´on
Bravo por su cuidadosa revisi´on del texto y sus valiosos comentarios, lo cual
permiti´
o mejorar la presentaci´on del libro.
Radmila Bulajich Manfrino
Jos´
e Antonio G´
omez Ortega
Rogelio Valdez Delgado

Contenido

Introducci´
on
1....