desigualdades






UNIDAD I DESIGUALDADES
1.1 Números Reales, propiedades y su representación gráfica.
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras:
* Decimales terminales
* Decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros sellaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.
Propiedades de los Números Reales:
Conmutativa de adición:
La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.



Por ejemplo:
4 + 2 = 2 + 4
Conmutativa de multiplicación:


Por ejemplo:
4 • 2 = 2 • 4Asociativa de adición:
La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.


Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Asociativa de multiplicación:


Por ejemplo:
4 • (2 • 9) = (4 • 2) • 9
Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo:
4 • (2 + 9) = 4 • 2 + 4 • 9
Recta Numérica
Para construir una recta numérica, primero seescoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo seescriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
Si a - b es positivo, entonces a > b.
Si b - a es positivo, entonces a < b.
Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0)se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:
si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|-7| = 7
1.2 Propiedades de las igualdades y desigualdades
Propiedades de la igualdad
La relación de igualdad (=) es:
reflexiva: a = asimétrica: si a = b entonces b = a
transitiva: si a = b y b = c entonces a = c
Leyes de la igualdad
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
si a = b y c = d entonces a + c = b + d y ac = bd
si a = b entonces a + c = b + c
si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con números reales ocomplejos sucede que si
a + c = b + c entonces a = b
regularidad condicional de la multiplicación: si a • c = b • c y no es cero, entonces a = b
Leyes de la desigualdad
La relación de desigualdad ( 0 entonces ac < bc
si a < b y c < 0 entonces bc < ac
INTERVALO
Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijosllamados extremos.
Ejemplo de Intervalo: , donde a es el extremo inferior del in­tervalo y b es el extremo superior del mismo, además .

Clases de intervalos:
Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
En otras palabras , observa que se trata de...