Desigualdades

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Desigualdades de dos variables
Ahora vamos a estudiar un caso más general.
Cuando graficamos la ecuación:
x + y = 10
obtenemos una recta en al plano.
Cada punto que está sobre la recta satisface la ecuación. Es decir, si sumamos las coordenadas del
punto obtenemos 10.
Ningún otro punto del plano satisface esa condición.
Entonces, por tricotomía, bien x + y >10, bien x + y < 10 para los demás puntos del plano.
Vamos a tomar el origen: (0, 0) y vamos a sustituir los valores en cada una de las dos ecuaciones.
Obviamente, satisface la desigualdad:
x + y < 10
Observa que si vamos cambiando una coordenada, digamos y dejando constante la otra (x), antes
de que cambie el sentido de la desigualdad debe cumplirse la igualdad.
Esto nos obliga a concluirque la recta divide el plano cartesiano en dos regiones, cada una de las
cuales satisface una desigualdad.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

x + y > 10

x

+

y

=

10

x + y < 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

Cualquier punto que elijamos que esté a la derecha de la recta x + y = 10 satisface la desigualdad
x + y > 10.
De manera semejante, cualquier punto de la región a laizquierda de la recta x + y = 10 satisface
la desigualdad x + y < 10.
Geométricamente podemos pensar que la recta x + y = 10 es la frontera entre las regiones x + y <
10, y x + y > 10.
Representa la región del plano cartesiano cuyos puntos satisfacen la desigualdad:
Ejemplo 1

2 x − y < 10

• Empezamos considerando la ecuación 2 x − y = 10.
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• Su gráfica es una recta con pendiente 2 y que pasa por el punto B(0, 10).
• Esta recta es la frontera entre las desigualdades 2 x − y < 10, y 2 x − y > 10.
• Al sustituir las coordenadas del origen en la desigualdad dada en el problema vemos que
éste punto la satisface.
• Entonces, las regiones quedan:
y

=1

0

x

−y

−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10

12 3 4 5 6 7 8 9 10

2x

2 x − y < 10

2
1

2 x − y > 10

• Si sutituimos las coordenadas de un punto cualquiera que se encuentre en la región a la
izquierda de la recta 2 x − y = 10 en la desigualdad 2 x − y < 10, la desigualdad se cumple.
• Verifica esto para al menos cinco puntos de esa región.
• De manera semejante, si sustituimos las coordenadas de cualquiera de los puntos que seencuentran a la derecha de la recta 2 x − y = 10 en la desigualdad 2 x − y > 10, la desigualdad
se cumple.
• Verifica esto para al menos diez puntos de esa región.

Muestra en el plano cartesiano la región que es solución de la desigualdad:
Ejemplo 2

x−y > 2

• De nuevo, dado que la recta x − y = 2 no pasa por el origen, sustituimos x = 0, y = 0 en la
desigualdad para ver si lassatisface.
• Dado que 0
desigualdad.

2, la región en la cual se encuentra el origen no es la solución de nuestra

• La otra región es la solución.
• Vamos a verificarlo sustituyendo un punto que se encuentre allí.
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• Elegimos el punto P(10, 2):
10 − 2 > 2
• Como la desigualdad se cumple para ese punto, la región a laderecha de la recta es la
solución de la desigualdad:
y
8
7
6
5
4
3
2
1

x−y < 2

x

−

y

=

2

x−y > 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

Recuerda que la recta: a x + by = c, siempre divide al plano cartesiano en dos regiones.
Una de ellas es la solución de la desigualdad:
a x + by > c
y la otra región es la solución de la desigualdad:
a x + by < c
Para verificar cuál regiónes solución de cada desigualdad, basta sustituir las coordenadas de
cualquiera de los puntos que esté en alguna de las regiones (por consiguiente, que no esté sobre
la recta).
Las coordenadas del punto que satisfaga una desigualdad nos indicarán que ese punto satisface
la desigualdad, y por tanto, todos los puntos de esa región.
Por otra parte, si no satisface la desigualdad, ese punto...