DESVENTAJAS MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy es muy eficiente, hay casos donde no lo es tanto. Un ejemplo de esto es cuando una función f(x) se hace igual a cero cuando un valor de x anula más de un término en la ecuación. Por ejemplo: f(X)= (x-3)(x-1)(x-1). Cuando x=1 se anulan dos términos de la ecuación.
En este caso hablamos de raíces múltiples. El problema del caso de raíces múltiples con el método de Newton-Raphson se relaciona con el hecho de que no sólo f(x) se aproxima a cero y al tener una derivada en el denominador provoca una división entre cero cuando la solución se acerque a la raíz.
Otros casos donde el método de Newton-Raphson no converge sino que se encicla son: raíz no real, raíz cuando es un punto de inflexión, o cuando la aproximación lineal está muy lejos de la raíz buscada.

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Figura1: Oscilaciones para una función sin raíz real. |
 
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Figura 2: Oscilaciones para una función con punto de inflexión. |
|Figura 3: Oscilaciones para una función con dos raíces reales. |
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En la figura 1. Vemos que la solución se da horizontalmente y jamás toca el eje x.
En la figura 2. Se muestra el caso donde un punto de inflexión ocurre en la vecindad de una raíz. Es decir, que las iteraciones que empiezan en x se alejan progresivamente de la raíz.
En la figura 3. En este caso se encuentran pendientes cercanas a cero, lo que causa una división entre cero.
SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Una forma simple de evitar problemas donde el denominador se hace cero es verificar f(x) contra cero dentro de las iteraciones, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f’(x) llegue a cero.
Cuando hay raíces múltiples el método de Newton-Raphson en vez de converger cuadráticamente lo hace linealmente. Para esto se han hecho algunas modificaciones en la formulación para que retorne su convergencia cuadrática, como:
xi+1= xi-mf(xi)f'(xi)
En donde m la cantidad de raíces [continua]

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