Determinaciones

Límites Indeterminados
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero,  ,  , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos,se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.
La indeterminación
Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador yel denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.
Ejemplo. Halle
Al sustituir, resulta y lo que genera una indeterminación del tipo .
Sin embargo, como si x  3, resulta que la función coincide con la función (x + 3) salvo en x  3.
Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posibledeterminar el comportamiento de analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que
   
Nota. Existe algo sospechoso en este ejemplo. Si el 3 no estaba en el dominio antes de simplificar, pero sí lo estaba después de simplificar, la función seguramente ha cambiado.
Al decir mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas dos expresiones son iguales en dondeestán definidas. En realidad y x + 3 son distintas. La diferencia entre ellas es que x  3 no pertenece al dominio de pero sí al dominio de x + 3. Puesto que ignora cualquier valor que f pueda tomar x  3, eso no interesa. Desde el punto de vista del límite en 2 esas funciones sí son iguales.
   
Ejemplo. Calcule el valor de .
Al sustituir la variable por 1, tanto el numerador como el denominador seanulan y se genera la indeterminación . Se factorizan el numerador y el denominador y, para x  1, se simplifican los factores comunes:

   
Ejemplo. Halle el valor de .
Reemplazando la variable por 3 se obtiene la indeterminación . Para resolver este límite, se racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la del denominador y resulta:  
Ejemplo. Determine el límite .
Al sustituir, resulta y lo que genera una indeterminación del tipo .

Si x  3, el denominador tiende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por izquierda, en cualquiera de los casos el denominador es positivo por estar elevado al cuadrado. Como el numerador negativo (1), se concluye que el límite es .
La indeterminación
Se analizará el límite delcociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n  1 cuando x tiende a + ó a  es + ó  . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplicanlas propiedades de los límites.
Ejemplo. Halle
La función dada consiste en el cociente de dos funciones polinomiales: una de grado 4 y otra de grado 3. Por lo tanto, se dividen el numerador y el denominador por x4 y resulta:

En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador y se obtuvo en este caso .
Ejemplo. Determine
Se dividen elnumerador y denominador por x3:
.
Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambas.
Ejemplo. Calcule .
Se dividen el numerador y denominador por x4:

En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador...