Determinantes

Unidad 2: Determinantes

Propiedades de los determinantes

Leer atentamente el Ítem 2.2 del texto Álgebra Lineal (S. Grossman) y responder a los siguientes enunciados.

I) Los siguientes enunciados, representan algunas propiedades de los determinantes. Completarlos y realizar en cada caso un ejemplo que lo verifique:

Siendo: Anxn y c ϵ R y c ≠ 0

1 - Si la matriz B se obtiene de lamatriz A multiplicando los elementos de un renglón o columna cualquiera por c, entonces: det B. = c (det A).

Sea A= 1234 entonces det (A) = -2

Si se multiplica el primer renglón por 3, obtenemos B= 3634
Entonces det (B) = -6 = 3 det (A)
2 - Si la matriz B se obtiene de la matriz A intercambiando dos renglones o columnas cualquiera, entonces: det B = -1 (det A)

Sea A= 5329 entoncesdet (A) = 39

Si se intercambian el primer y el segundo renglón, obtenemos B= 2953

Entonces det (B)= -39 = -1 det (A)

Si se intercambian la primer y segunda columna, obtenemos C= 3592
Entonces det C=-39= -1 det (A)
Si se intercambian primer y segundo reglón, y primer y segunda columna, obtenemos D= 9235
Entonces det D =39 = (-1) (-1) det (A) = det (A)

3 - Si la matriz B se obtienede la matriz A sumando un múltiplo de un renglón (o columna), a otro renglón (o columna) cualquiera, entonces:
det B = det A

Sea A= 356526753 det (A) = 129
Si multiplicamos el tercer renglón por 2 y se lo sumamos al primero, obtenemos

B=3+(7.2)5+(5.2)6+(3.2)526753 = 171512526753

det (B) = 129 = det (A)

II) Analizando las propiedades enunciadas y completadas en I), qué puede deciracerca de la relación del determinante y las operaciones elementales en los renglones de una matriz. ¿A qué se puede extender?

Se puede decir que cuando se realizan operaciones elementales de renglón a una matriz con el fin de lograr su forma escalonada (o, en su defecto, su forma escalonada reducida) cambia el valor del determinante, por lo que a cada operación elemental de renglón que seefectúe a la matriz le corresponderá una operación al determinante.
Esto se extiende sólo a las operaciones de intercambio de renglones (ante lo cual el determinante cambia su signo, es decir, es multiplicado por (-1)) y a la de multiplicación de renglón por un escalar (ante lo cual el determinante se multiplica por dicho escalar), mientras que no afecta a la operación de suma de un renglón por elmúltiplo de otro.

III) Identificar tres (3) propiedades que vinculen al determinante con algunas operaciones de matrices. Enunciarlas y dar en cada caso un ejemplo que lo verifique.

1º Propiedad: Siendo A = a11a12a21a22 y B = b11b12b21b22 se puede verificar que:

det (AB) = det A . det B

Ejemplo:

Siendo A= 453-2 yB=4-168 Entonces:

det (AB) = det A . det B

453-24-168 = 453-2 . 4-168

46360-19 = -23 . 38

-874 = -874

2º Propiedad: Siendo A = a11a12a21a22 se puede verificar que:

det (At) = det A

Ejemplo:

Siendo A= 453-2 y At = 435-2 Entonces:

det (At) = det A

435-2 = 453-2

7 = 7

3º Propiedad: Siendo A =a11a12a21a22, B = β11a12β21a22 y C = a11+β11a12a11+β21a22. Entonces:

det C = det A + det B

Siendo A = 4-138 , B = 4-168 y C = 4+4-13+68 Entonces:

det C = det A + det B

4+4-13+68 = 4-138 + 4-168

8-198 = 4-138 + 4-168

73 = 35 + 38

73 = 73

IV) Completar y ejemplificar: Sean A, B, C matrices idénticas excepto por elrenglón - i (o columna j), y que el renglón – i de C, es la suma de los i- ésimos renglones de A y B .Entonces, det C = det A + det B.

Sea A= 234563129 Entonces: det(A)= -14

Sea B= 343563129 Entonces: det (B)= -12

Sea C= 2+33+44+3563129 Entonces: det (C)= -26 = det (A) + det (B)
V) Sea Anxn. Teniendo en cuenta las características de un determinante y su valor, enunciar tres (3)...