Determinantes y Desarrollo por Cofactores

Determinantes y Desarrollo por Cofactores
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM
a
17 de junio de 2008

´
Indice
18.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
18.2. El determinate de una matriz 2 × 2 . . . . .
18.3. Determinante 2 × 2: Regla de memorizaci´n
o
18.4. Geometr´ del determinante 2 × 2 . . . . . .
ıa
18.5. Determinante de una matriz 3 × 3 . . . . .
18.6. Reglade Sarrus para un determinante 3 × 3
18.7. El menor (i, j) de una matriz . . . . . . . .
18.8. El cofactor (i, j) de una matriz . . . . . . .
18.9. Definici´n del determinante . . . . . . . . .
o
18.10. esarrollo de un determinante . . . . . . . .
D
18.11. ugerencia para el c´lculo de determinantes
S
a

18.1.

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1
1
2
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3
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3
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4
4
5

Introducci´n
o

El determinante de una matriz cuadrada A es un n´mero real asignado a ella. En la notaci´n matem´tica
u
o
a
el determinante de A se simboliza por det(A) o tambi´n por |A|. El determinante de una matrizes un n´mero
e
u
que mide, entre otras cosas, si una matriz es invertible. Nuestro resultado m´s importante en este sentido es
a
|A| = 0 si y s´lo si A es una matriz invertible. En nuestro acercamiento, primero veremos c´mo se calcula el
o
o
determinante de matrices cuadradas 2 × 2, y 3 × 3 y despu´s pasaremos al caso general. Una disculpa por el
e
abuso de las barras para simbolizar aldeterminante de una matriz que podr´ confundirse son las utilizadas
ıa
para el valor absoluto de un n´mero: haremos lo posible por evitar confusiones escribiendo las matrices en
u
negritas y may´sculas para diferenciarlas de los escalares que es a los que se aplica el valor absoluto:
u
|A| = determinate de la matriz A
|c| = valor absoluto del escalar c.

18.2.

El determinate de unamatriz 2 × 2

Definici´n 18.1
o
Sea A una matriz 2 × 2:
A=

a11 a12
a21 a22

El determinante A se define como:
|A| = det(A) = a11 a22 − a12 a21

(1)

Ejemplo 18.1
Calcule el determinante de

1 2
3 4

A1 =

−3 2
−1 8

, A2 =

Soluci´n
o
Directamente de la definici´n se tiene
o
det(A1 ) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
det(A2 ) = (−3)(8) − (2)(−1) = −24 + 2 = −22

18.3.Determinante 2 × 2: Regla de memorizaci´n
o

Una forma de memorizar el c´lculo del determinante de una matriz 2×2 es la siguiente: escribir los elementos
a
de la matriz y hacer los productos en diagonal de manera que los que van de izquierda-arriba a derecha-abajo
iran multiplicados por +1 mientras que los productos de izquierda-abajo a derecha-arriba ir´n multipliados
a
por −1:
a11 a12= +a11 a22 − a21 a12
|A| =
a21 a22

18.4.

Geometr´ del determinante 2 × 2
ıa

Sea

a11 a12
a21 a22

A=

.

El ´rea del paralelogramo con esquinas P (0, 0), Q(a11 , a21 ), R(a12 , a22 ), y S(a11 + a12 , a21 + a22 ) es el valor
a
absoluto de |A|.
Veamos algunos ejemplos donde se utiliza este hecho.
Ejemplo 18.2
Calcule el ´rea del paralelogramo con lados v1 =< 3, 0 > y v2...