Determinantes

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TEMA 3 – DETERMINANTES 3.1 – DETERMINANTES DE ORDEN 2
3.1.1 – DEFINICIÓN: El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo:
a A =  11 a  21 Ejemplo: a 12  a a 12  ⇒ det(A) = |A| = 11 = a11.a22 – a12.a21 a 22  a 21 a 22  2 −1 3 4

= 2.4 − (−1).3 = 8 + 3 = 11

3.2 –DETERMINANTES DE ORDEN 3
3.2.1 – DEFINICIÓN: El determinante de una matriz cuadrada de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo: (Regla de Sarrus)
 a 11  A =  a 21 a  31 a 12 a 22 a 32 a 13  a 11 a 12 a 13  a 23  ⇒ Det A = |A| = a 21 a 22 a 23 a 33  a 31 a 32 a 33  = [a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 ] – [a13.a22.a31 + a12.a21.a33 + a23.a32.a11 ]

1 2 −3Ejemplo: 2 4 − 1 = [1.4.3 + 2.(−1).2 + 2.0.(−3)] − [−3.4.2 + 2.2.3 + (−1).0.1] = 2 0 3 = [12-4+0]-[-24+12+0] = 8+12 = 20

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3.3 – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: |A| = |At|  7 4 | A |= = 77 + 20 = 97  − 5 11  t  ⇒| A |=| A | 7 −5 | A t |= = 77 + 20 = 97  4 11 2. Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero. 0 0 = 0.6 − 0.7 = 0 7 6 3. Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.  3 1 7  | A |= 2 4 8 = [3.4.9 + 2.6.7 + 5.1.8] − [5.4.7 + 3.6.8 + 2.1.9]  5 6 9  ⇒ 7 1 3  | B |= 8 4 2 = [7.4.5 + 8.6.3 + 9.1.2] − [9.4.3 + 7.6.2 + 8.1.5]  9 6 5   Lossumandos son el mismo pero con el signo cambiado ⇒ |B|=-|A| 4. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es cero. 4 11 = 4.11 − 11.4 = 0 4 11 5. Si multiplicamos cada elemento de una fila (o de una columna) de una matriz por un número, el determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número. 5.4 5.9 4 9 = 5. 3 11 3 11 n Por tanto |α.A| = α .|A| siendo “n” el ordende la matriz A. (Un α de cada fila) 6. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero. 60 6 = 60.7 − 6.70 = 0 70 7 7. Si una fila (o columna) de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices, del siguiente modo: a + a´ b a b a´ b = + c + c´ d c d c´ d Por tanto |A + B| ≠ |A| + |B|

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8. Si a una fila (o una columna) de una matriz se le suma una combinación lineal de líneas paralelas, el determinante no varía. a b + ka a b a ka a b a b = + = +0= c d + ka c d c ka c d c d 9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero (y recíprocamente) 1 2 3 (F3 = 2F2 - F1)⇒ 2 3 4 = [15 + 24 +24] – [27+16+20] = 63 – 63 = 0
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10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: |A.B| = |A|.|B| 2 5   1 7 Por ejemplo: A =   7 20  y B =  − 2 4          − 8 34  A.B =   − 33 129  ⇒ |A.B| = -1032 + 1122 = 90    |A| = 40 – 35 = 5; |B| = 4 + 14 = 18 ⇒ |A|.|B| = 5.18 = 90 11. El determinante de una matriztriangular es el producto de los elementos de la diagonal principal 2 3 = 2.4 − 0.3 = 2.4 0 4 Nota: [1] | I | = 1 [2] A.A-1 = I ⇒ |A.A-1| = |I| ⇒ |A|.|A-1| = 1 ⇒ |A-1| = 1/|A|

RESUMEN PRÁCTICO: Operaciones con determinantes: |0|=0 |I|=1 | Matriz triangular | = Producto de los elementos de la diagonal principal |At| = |A| |A-1| = 1/|A| |A + B| ≠ |A| + |B| |α.A| = αn.|A| (siendo “n” el orden de lamatriz) |A.B| = |A.B|

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Un determinante es nulo si: - Una línea (fila o columna) es nula. - Dos líneas paralelas iguales - Dos líneas paralelas proporcionales - Una línea es combinación lineal de las líneas paralelas a ella. Otras: - Si intercambiamos dos líneas paralelas el determinante cambia de signo F2 = F2 + 3F1 ⇒ =  -...