DGB1 3 2 1 2

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de Sustitución
El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos
ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las ecuaciones,
vamos a sustituir este despeje en la otra ecuación y así tenemos un problema de una ecuación
lineal con una incógnita. Después resolvemos esta ecuaciónlineal y encontramos el valor de una
de las variables.
Para encontrar el otro valor podemos sustituir el valor de la variable conocida en el despeje que
hicimos antes y terminamos.
El siguiente ejemplo te muestra el procedimiento.
Resuelve:

x + y = 10
x−y= 2

Ejemplo 1

• Este ejemplo es el primero que estudiamos con el método de eliminación, así que ya conocemos la solución de este sistema: x = 6,y = 4.
• Primero vamos a despejar una variable de alguna de las ecuaciones.
• Vamos a despejar y de la primera ecuación.
• Para esto, sumamos en ambos lados de la primera ecuación − x, y así obtenemos:

− ✁x + ✁x + y = 10 − x
y = 10 − x
• Ahora utilizamos este despeje para sustituirlo en la otra ecuación.
• La sustitución es válida en este procedimiento porque si y = 10 − x, entonces, los valoresde
x y de y satisfacen a la primera ecuación.
• Pero también deben satisfacer a la otra ecuación, por eso sustituimos ese valor de y, pues en
ambas ecuaciones debe ser el mismo.
• Aquí está la sustitución:
x−y
x − (10 − x )

= 2
= 2

• Observa que ahora tenemos solamente una ecuación con una sola incógnita.
• Obtuvimos esto porque la condición que impone la primera ecuación ya está incluida enesta nueva ecuación lineal.
• Y esto se incluyó cuando sustituimos el despeje que obtuvimos de ella.
• Ahora debemos realizar las operaciones indicadas y resolver para encontrar el valor de la
única variable que se encuentra en la ecuación:
x − 10 + x

=
2 x − 10 + 10 =
2x =
x =

2
2 + 10
12
6

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• Vemos que el valor de x es el que yaconocíamos.
• Ahora vamos a calcular el valor de y. Para esto sustituimos el valor de x que acabamos de
encontrar en el despeje que hicimos antes:

= 10− x
= 10 − 6
= 4

y

• Y de nuevo, el valor que encontramos coincide con el resultado correcto.

Para decidir qué variable despejar y de qué ecuación, es una buena idea identificar la variable que
tenga coeficiente igual a uno en una de lasecuaciones. Esto te facilitará los cálculos posteriores.
Resuelve:
Ejemplo 2

2 x + y = 18
3x − 4y = 5

• Primero observamos que la variable y en la primera ecuación tiene coeficiente igual a uno.
• Por eso, vamos a despejar esa variable de esa ecuación:
2x+y

= 18
y = 18 − 2 x

• Ahora sustituimos este despeje en la otra ecuación:
3x −
4y = 5
3 x − 4 (18 − 2 x ) = 5
• Ahora vamos a realizar lasoperaciones indicadas para a encontrar el valor de la única
variable en esta ecuación: x
3 x − 4 (18 − 2 x )
3 x − 72 + 8 x
✚
11 x − ✚
7✚
2 +✚
72
11 x
x

=
=
=
=
=

5
5
5 + 72
77
7

• Ahora que conocemos el valor de una variable, podemos utilizar este valor para encontrar
el valor de la otra variable.
• Para esto, sustituimos en el despeje que hicimos al principio:
y

=
=
=
=

18 − 2 x
18 − 2 (7)
18 − 144

• Entonces, la solución de este S.E.L. es: x = 7, y = 4.
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• Ahora vamos a comprobar que la solución que encontramos es correcta:

⇒ 2 (7) + 4 = 18
⇒ 3 (7) − 4 (4) = 5

2 x + y = 18
3x − 4y = 5

Una vez que hayamos encontrado el valor de una de las variables, también podemos encontrar el
valor de la otra variable sustituyendo encualquiera de las ecuaciones que forman en S.E.L.
Esto se justifica porque la solución debe satisfacer a cada una de las ecuaciones que forman el
S.E.L.
Resuelve:

3x + 2y = 7
2x + 3y = 8

Ejemplo 3

• Podemos ver que ninguno de los coeficientes de las variables es igual a 1.
• Esto nos indica que debemos despejar alguna variable y tendremos que trabajar necesariamente con fracciones.
• Elegimos...