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Páginas: 303 (75719 palabras) Publicado: 27 de agosto de 2013
C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Asignatura: Cálculo
Curso: Primero
Titulación: Ingeniero de Telecomunicación
septiembre 2006

Índice general

1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción

1

1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . .. . . . .

2

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Funciones reales. Funciones elementales

10

2.1.Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3. Números complejos. Exponencial compleja

26

3.1. Operaciones básicas con númeroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.1. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . . . .

28

3.1.2. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

33

3.3. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

I

Índice general

II

3.3.3. Potencias complejas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4. Continuidad

38

4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5. Sucesiones

45

5.1. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . .

53

5.2. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

55

5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Límite funcional

59

6.1. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites. Límites de funciones monótonas . . . . . .

63

6.4. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.5. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

68

7. Derivadas

69

7.1.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . .

69

7.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . ....
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