Diagonalizacion

Rafael Gutiérrez Estrada

NOTAS SOBRE DIAGONALIZACION

Sea A n x ( ) . Definición: Se dice que A es diagonalizable si existe otra matriz

P n x ( ) invertible tal que P 1 AP  D con D nx ( ) una matriz diagonal, esto es, una matriz que

fuera de su diagonal principal tiene puros ceros. ¿Cómo saber si una matriz A es no diagonalizable? La respuesta se da en el siguiente Teorema.Teorema: A es diagonalizable si existe una base de compuesta por puros vectores propios de A . ¿Qué es un vector propio de A ?
n

 x1  x  2 n Definición: Un vector no nulo X     es un vector      xn  propio de A si existe   tal que AX   X . Al real  se
le conoce como el valor propio correspondiente al vector propio X . ¿Cómo encontrar valores y vectores propios de A ?Trabajando con la igualdad AX   X , esta se puede reescribir como AX   X  0 ó equivalentemente como

Rafael Gutiérrez Estrada

( A  I )X  0

() ,

lo cual ya en un ejemplo concreto es un sistema de ecuaciones lineales de n  n homogéneo. Ahora por la regla de Crammer se tiene que tal sistema tiene soluciones no triviales si y solo si

A  I  0
Ecuación algebraica que al resolverlanos da los valores propios. Finalmente estos valores propios se sustituyen en (*) y resolviendo el sistema se obtienen los vectores propios de A . Nota: Si

1, 2 , , n 

son los valores propios y todos

ellos son distintos entonces la matriz A es diagonalizable, y si algunos de ellos se repiten, entonces todavía puede ocurrir cualquier cosa, esto es, puede o no ser diagonalizable, dehecho va a ser diagonalizable si podemos encontrar n vectores propios linealmente independientes. Más aun la matriz P se construye colocando a estos n vectores propios como las columnas de P , y P AP  D es una matriz diagonal que tiene en su diagonal a los valores propios. Ejemplos: Diga si las siguientes matrices son o no digonalizables. 1.- Sea A  
1

5 2   6 2 

Rafael GutiérrezEstrada

Los valores propios ecuación algebraica

se

encuentran

al

resolver

la

A  I 

5 6

2  (5   )( 2   )  6( 2)  0 2  

 10  5  2   2  12   2  3  2  (  1)(  2)  0  1  1 y 2  2
Sustituyendo

  1  1 en ( A   I ) X  0 se obtiene el

sistema de ecuaciones

5  1 2   x1   4 2  x1  0    6 2  1  x2  6 3  x2  0        
Como el segundo renglón de la matriz asociada se 3 obtiene del primero al multiplicarlo por 2 , nos quedamos solo con la primera ecuación, esto es, con

4 x1  2 x2  0
De la cual se tiene que x2  2 x1 . Por lo tanto haciendo

1  x1  1 , un vector propio de A es   . 2
Observación: Como hubo una incógnita libre, de aquí se obtuvo un vector propio.Si se hubiera tenido dos incógnitas libres, entonces se tendrían que obtener dos vectores propios, … , etc. Sustituyendo

  2  2 en ( A   I ) X  0 se obtiene el

sistema de ecuaciones

Rafael Gutiérrez Estrada

2   x1   3 2  x1  0 5  2    6 2  2  x2  6 4  x2  0        
Como el segundo renglón de la matriz asociada se obtiene del primero almultiplicarlo por 2, nos quedamos solo con la primera ecuación, esto es, con

3x1  2 x2  0
De la cual se tiene que x2 
3 x. 2 1

Por lo tanto haciendo

2 x1  2 , un vector propio de A es   . 3 
Con todo lo anterior se tiene que

1 2 P   2 3
Observe que las columnas de P son los vectores propios antes obtenidos, y son linealmente independientes y forman una base de 2 . Porlo tanto A es diagonalizable y P es la matriz que la diagonaliza. Finalmente es fácil ver que P que
1

 3 2  , y se verifica  2 1  

 3 2  5 2 1 2  3 2  1 2 1 0 P 1 AP     D 2 1 6 2  2 3  4 2  2 3 0 2         

Rafael Gutiérrez Estrada

 10 9 21 2.- Sea A   8 8 14     4 3 9   
Los valores propios ecuación...