Diagramma

• Ejemplo 1:
Un sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria presenta la siguiente función de transferencia de lazo abierto:

Hallar:
1) La ganancia k de forma que el error estacionariofrente a una rampa del tipo r(t)=A•t sea del 10%.
2) El diagrama de Bode y, a partir de él, calcular el margen de fase y de ganancia.

• Solución:
1) Como vimos en el tema 4, la función detransferencia que expresa el error de un sistema de lazo cerrado es:

En nuestro caso:

Por tanto, el error en estado estacionario es:

Como el error debe ser del 10% de la entrada, ha decumplirse que la ganancia es:


2) Ahora debemos hallar el diagrama de Bode de la función de transferencia:

Como vemos, está ya normalizada porque todos los factores tienen la forma de los términosbásicos que vimos en teoría.
A frecuencias bajas, el término dominante es (jw)-1.
Hay que determinar las frecuencias de corte de cada factor:
- el término (0.2s+1)-1 tiene una frecuencia de corte dewc=5.
- el término (0.02s+1)-1 tiene una frecuencia de corte de wc=50.
En primer lugar, trazaremos la gráfica del logaritmo de la amplitud:
Para la frecuencia w=0.1, G(jw)=100, que en decibelioses: 20log 100 = 40dB.
Hasta la frecuencia 5, tendremos una pendiente de -20dB/déc debida al factor (jw)-1, en el intervalo de frecuencias que va de 5 a 50 la pendiente será de -40dB/déc debida altérmino anterior más el factor (0.2jw+1)-1 y, finalmente, para frecuencias mayores de 50, la pendiente es de -60dB/déc ya que empieza a influir el factor (0.02s+1)-1. Gráficamente:

El diagrama de lafase es:

Teniendo el diagrama de Bode, podemos sacar los márgenes de fase y ganancia gráficamente de modo aproximado. Pero calculémoslos analíticamente:
Para obtener el margen de fase, debemos ver aqué frecuencia la amplitud es 0dB:


Para resolver esa ecuación, se puede emplear cualquier método numérico, habitualmente usaremos el de bisección. Se obtiene la siguiente frecuencia:...