Diario

Capítulo 2

Linealización de Modelos
Debido a que la mayoría de herramientas para el análisis de sistemas y diseño de sistemas de control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disponer de métodos para linealizar modelos. La linealización generalmente consiste en una expansión en series de Taylor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación de…nidonaturalmente por el sistema o seleccionado arbitrariamente para satisfacer alguna necesidad de control.

2.1

Expansión en Series In…nitas

Cuando un modelo es muy complejo matemáticamente es necesario recurrir a técnicas como las representaciones en series in…nitas. Las soluciones en series in…nitas son usadas generalmente para aproximar el valor de una función en un punto arbitrario concierto grado de precisión.

2.2

Expansión en Series de Taylor
1 X 1 dk f (x) ¯ ¯ ¯ (x ¡ x0 )k f (x) = k ¯ k! dx x0 k=0

(2.1)

Donde f (x) es la expansión alrededor del punto x0 :

2.3

Derivada de una función escalar por un vector
Dados: f (x) : 1£1 y x : m £ 1 df (x) = dx · @f (x) @x1 @f (x) @x2 ¢¢¢ @f (x) @xm¡1 @f (x) @xm ¸ (2.2)

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2.4

Derivada de una funciónvectorial por un escalar
Dados: f (x) : n £ 1 y x : 1 £ 1 6 6 6 6 df (x) 6 6 =6 6 dx 6 6 6 4 2 @f1 (x) @x @f2 (x) @x . . . @fn¡1 (x) @x @fn (x) @x 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 (2.3)

2.5

Derivada de una función vectorial por un vector
Dados: f (x) : n £ 1 y x : m £ 1 6 6 6 6 6 df (x) 6 =6 6 dx 6 6 6 6 4 2 @f1 (x) @x1 @f2 (x) @x1 . . . @fn¡1 (x) @x1 @fn (x) @x1 @f1 (x) @x2 @f2 (x) @x2 . . . @fn¡1(x) @x2 @fn (x) @x2 ¢¢¢ ¢¢¢ .. . ¢¢¢ ¢¢¢ @f1 (x) @xm¡1 @f2 (x) @xm¡1 . . . @fn¡1 (x) @xm¡1 @fn (x) @xm¡1 @f1 (x) @xm @f2 (x) @xm . . . @fn¡1 (x) @xm @fn (x) @xm 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 (2.4)

2.6

Modelo escalar no-lineal de una variable de estado
dx (t) = f (x (t)) dt

(2.5)

tiene:

Aproximando f (x (t)) por una expansión en series de Taylor alrededor de un punto de operación xop ¯¯ 2 ¯ df (¢) ¯ ¯ (x ¡ xop ) + 1 d f (¢) ¯ (x ¡ xop )2 + t:o:s: f (x (t)) = f (xop ) + (2.6) ¯ 2 ¯ dx xop 2 dx xop ¯ df (¢) ¯ ¯ (x ¡ xop ) f (x (t)) ' f (xop ) + dx ¯xop (2.7)

Despreciando los términos de segundo orden y los de orden superior (t:o:s:), se

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El punto de operación debe satisfacer la condición de ser un punto de equilibrio de la ecuación de estado, es decir f (xop ) = 0 Eneste caso los puntos de operación no son arbitrarios. Se de…ne la variable x± = x ¡ xop ; entonces ¯ ¯ ¯ dx df (¢) ¯ dx± ¯ (x ¡ xop ) = df (¢) ¯ x± = = dt dt dx ¯xop dx ¯xop (2.8)

(2.9)

¯ df (¢) ¯ ¯ De…niendo A , y re-escribiendo la ecuación (2.9) se tiene: dx ¯xop dx± = Ax± dt

(2.10)

2.7

Modelo escalar no-lineal de una variable de estado y una variable de entrada
dx (t) = f (x(t) ; u (t)) dt

(2.11)

Aproximando f (x (t) ; u (t)) por una expansión en series de Taylor alrededor de un punto de operación xop ; uop ¯ ¯ @f (¢) ¯ @f (¢) ¯ ¯ ¯ f (x (t) ; u (t)) = f (xop ; uop ) + (x ¡ xop ) + (u ¡ uop ) + @x ¯xop ;uop @u ¯xop ;uop ¯ ¯ 1 @ 2 f (¢) ¯ 1 @ 2 f (¢) ¯ 2 ¯ ¯ (x ¡ xop ) + (u ¡ uop )2 2 ¯ 2 ¯ 2 @x xop ;uop 2 @u xop ;uop ¯ 2 f (¢) ¯ 1 @ ¯ + (x ¡ xop ) (u ¡ uop ) +t:o:s: (2.12) 2 @x@u ¯xop ;uop Truncando la serie después de los términos de primer orden se tiene: ¯ ¯ @f (¢) ¯ @f (¢) ¯ ¯ ¯ f (x (t) ; u (t)) = f (xop ; uop ) + (x ¡ xop ) + (u ¡ uop ) @x ¯xop ;uop @u ¯xop ;uop (2.13)

Además el punto de operación debe satisfacer la condición f (xop ; uop ) = 0; donde xop generalmente puede ser seleccionado arbitrariamente ajustando el valor de la entrada uop :De…niendo ¯ ¯ @f (¢) ¯ @f (¢) ¯ ¯ ¯ A, , B, , x± (t) = x (t)¡xop y u± (t) = u (t)¡uop @x ¯xop ;uop @u ¯xop ;uop

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Entonces se tiene: dx± (t) = Ax± (t) + Bu± (t) dt Si además se tiene un señal de salida y (t) = g (x (t) ; u (t)) (2.15) (2.14)

Aproximando la función no-lineal g (x (t) ; u (t)) por una expansión en series de Taylor y truncando los términos de orden superior se tiene: ¯ ¯...