Diferenciabilidad

creditos: Salomon Alarcon Araneda

Apuntes de

C´ lculo Diferencial a

v 22.04.11

hola

2

Prefacio

´ Esta es la tercera version, con revisiones especialmente en los cap´tulos de funciones y l´mites, ı ı del apuntes que estoy escribiendo para un curso de C´ lculo Diferencial. a ´ ´ Esta version contiene aportes del Profesor Pablo Gonzalez, de la UNAB, en el topico de Orden ´ ´de los numeros reales y axioma del supremo, y de los Profesores Florentino Baeza y Bernardo Leon ´ de la Barra, ambos de la UTFSM, en algunos topicos relacionados con valor absoluto y ecuaciones y funciones cuadr´ ticas. a Agradezco desde ya sus comentarios y cr´ticas constructivas para mejorar este apuntes, el cual ı seguramente todav´a contiene algunos errores. Para ello, pueden contactarme envi´ndome un ı a correo e-mail a: salomon.alarcon@usm.cl. Espero que este material les sea de utilidad. Atte. ´ ´ Salomon Alarcon Araneda.

I

´ CAPITULO 0. PREFACIO

II

´ Indice general

Prefacio ´ Indice general ´ Indice de figuras

I III VII

I

Numeros Reales y Funciones Reales ´

1
3 4 5 9 13 14 15 18 19 20 21 22 24 28 34 41 42 45 46 47 48

1. Los Numeros Reales ´ ´ 1.1.El cuerpo de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.1. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Propiedades de lasdesigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Otras propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2.4. Distancia entre dos numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2.5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2.9. Inecuaciones con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.3. Axioma de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funciones 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.1.1. Gr´ fico de una funcion real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ ´ 2.1.2. Traslacion horizontal de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ´ ´ 2.1.3. Traslacion vertical de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 2.1.4. Reflexion del gr´ fico de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
III

´ INDICE GENERAL 2.2. Funciones algebraicas . . . . . . ´ 2.2.1. Funcion af´n . . . . . . . ı ´ 2.2.2. Funcion lineal . . . . . . ´ 2.2.3. Funcion identidad . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 51 53 54 55 57 58 60 61 62 62 64 65 66 68 69 69 71 78 79 79 80 81 83 86 86 90 93 94 98 98

´ 2.2.4. Funcion constante . . . . . ´ 2.2.5. Funcion cuadr´ tica . . . . . a ´ 2.2.6. Funcion parte entera . . . . ´ 2.2.7. Funcion racional . . . . . .

´ 2.2.8. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....