diferenciabilidad

Univ. de Alcal´ de Henares
a
C´lculo. Segundo parcial.
a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa
o
Curso 2004-2005

Diferenciabilidad.
1.

Definici´n de funci´n diferenciable
o
o

Despu´s del estudio de los l´
e
ımites de funciones de dos variables retomamos la discusi´n
o
sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definici´n y un teorema lo que hemos
o
avanzado hastaahora.
Definici´n 1 (Funci´n diferenciable).
o
o

La funci´n z = f (x, y) es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) si existen unos n´meros A y B
o
u
 tales que


f (x, y) − (f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ))

l´
ım
=0
(1)

(x,y)→(x0 ,y0 )
(x − x0 )2 + (y − y0 )2


 En ese caso diremos que el plano z = f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ) es el planotangente a
la gr´fica de f en (x0 , y0 )
a
Y el teorema es este:
Teorema 2.

Para que la funci´n f sea diferenciable en (x0 , y0 ) es necesario que existan sus derivadas parciales
o
 en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano



∂f
∂f

· (x − x0 ) +
· (y − y0 )
z = f (x0 , y0 ) +
∂x (x0 ,y0 )
∂y (x0 ,y0 )
Por supuesto, se puede usar directamente la definici´n paraprobar que una funci´n es difeo
o
renciable en un punto. Para ello:
1. Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las
reglas de derivaci´n, o usando la definici´n si no es posible aplicar las reglas).
o
o
2. Despu´s debemos demostrar que se cumple
e
f (x, y) −

f (x0 , y0 ) +

l´
ım

∂f
∂x

· (x − x0 ) +
(x0 ,y0 )

(x − x0 )2 + (y − y0)2

(x,y)→(x0 ,y0 )

∂f
∂y

· (y − y0 )
(x0 ,y0 )

=0

Veamos un ejemplo elemental de demostraci´n.
o
Ejemplo 3. La funci´n f (x, y) = x2 + 2y 2 es diferenciable en el punto (x0 , y0 ) = (1, 2). En
o
efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen
∂f
∂x

∂f
∂y

= 2,
(1,2)

1

=8
(1,2)

As´ que el unico candidato posible a ser el plano tangente es
ı´
z = f (1, 2) +

∂f
∂x

· (x − 1) +
(1,2)

∂f
∂y

· (y − 2) = 9 + 2(x − 1) + 8(y − 2)
(1,2)

y para demostrar que f es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple
l´
ım

(x2 + 2y 2 ) − (9 + 2(x − 1) + 8(y − 2))
(x − 1)2 + (y − 2)2

(x,y)→(1,2)

=0

Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el cambio de
variables u = x − 1, v = y −2. De esa forma, se trata de demostrar que:
((u + 1)2 + 2(v + 2)2 ) − (9 + 2u + 8v)
√
=0
(u,v)→(0,0)
u2 + v 2
l´
ım

y si se desarrollan los par´ntesis se obtiene
e
u2 + 2v 2
√
=0
(u,v)→(0,0)
u2 + v 2
l´
ım

Y ahora observamos que
|u2 + 2v 2 | ≤ 2(u2 + v 2 )
con lo que

u2 + 2v 2
2(u2 + v 2 )
√
≤ √
= 2 u2 + v 2
u2 + v 2
u2 + v 2

A partir de aqu´ (o tambi´n usandocoordenadas polares) se concluye f´cilmente la demostraci´n.
ı
e
a
o

1.1.

Una condici´n suficiente de diferenciabilidad
o

El m´todo que acabamos de ver para demostrar que f es diferenciable es demasiado laborioso.
e
Para que nuestro trabajo sea sencillo necesitamos una forma m´s sencilla de establecer que
a
una funci´n es diferenciable. El teorema que vamos a ver nos proporcionaprecisamente esa
o
herramienta, y se basa en una propiedad de continuidad de las derivadas parciales.
Teorema 4 (Condici´n suficiente de diferenciabilidad).
o

Sea z = f (x, y) una funci´n de dos variables, y p = (x0 , y0 ) un punto en el que queremos
o
 demostrar que f es diferenciable. Si se puede encontrar una bola B(p, r) tal que las dos derivadas

 parciales

∂f
∂f


,
∂x
∂y
existen y son continuas en todos los puntos de la bola, entonces f es diferenciable en p.
Muchas de las funciones que utilizamos se obtienen a partir de funciones elementales haciendo
operaciones sencillas. Puesto que hemos visto que es f´cil demostrar la continuidad de esas
a
funciones, se puede usar este teorema para analizar la diferenciabilidad de esas funciones. Veamos
algunos...