DIFERENCIACION

J.M

“La pregunta del millón…”

un minuto de silencio…

J.M

Si tenemos una función definida por

La mayoría contestaría: “su derivada es:

yx

2

y  2 x ”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
J.M

El problemade la
recta tangente

J.M

Se quiere hallar la recta tangente a la curva
en el punto (a ; f(a))
y

6

y = f(x)
4

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza
la recta secante que pasa por esos dos puntos
y

6

4

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

¿Cuál es la pendiente de la recta secante?
y

6

f(x) - f(a)4

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

f(x) - f(a)

4

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

f(x) - f(a)

4

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x- a

2

x
2

a

46

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x- a

2

x
2

a

4

6

x

8

J.M

Ahorahagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x- a

2

x
2

a

4

x

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
x- a

2

x
2

a

4

x

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
x- a

2

x
2

a

4

x

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

64

f(x) - f(a)
x- a

2

x
2

a

4

x

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

a

x
4

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

a

x

4

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

a x

4

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a“a”
y

6

4

2

x
2

ax

4

6

8

J.M

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

a
x

4

6

8

J.M

Pendiente de la recta secante que pasa por
los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

f ( x)  f ( a )
Pendiente 
xa

J.M

Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

f ( x)  f ( a )
m  lím
x a
xa

J.M

La siguiente esuna forma equivalente:

f ( a  h)  f ( a )
m  lím
h 0
h

J.M

Si en la definición anterior, cambiamos el
número “a” por la variable “x”, obtenemos:

f ( x  h)  f ( x )
f ' ( x)  lím
h 0
h
En este caso, f’ es una nueva función llamada
derivada de f.

J.M

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Es una técnica del análisis numérico para
calcular una aproximación a la derivada de unafunción en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.

J.M

La diferenciación numérica es muy útil en
casos en los cuales se tiene una función cuya
derivada es difícil o complicada de hallar, o en
casos en los cuales no se tiene una función
explícita sino una serie de datos experimentales.

J.M

El problema de la derivación numérica consiste
en la evaluación de laderivada de la función en
un punto, cuando únicamente conocemos los
valores de la función en una colección de puntos
x0, x1,... xn.

J.M

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
Consiste en aproximar la función por polinomios. Las
fórmulas resultantes pueden clasificarse de las
siguientes maneras:
 En base al orden de la derivada, obteniéndose
𝑓 ′ 𝑥0 , 𝑓 ′′ 𝑥0 , 𝑓 ′′′ 𝑥0 , … , 𝑓 𝑛 (𝑥0 )...