DIFERENCIACIÓN Y ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD VI.- DIFERENCIACIÓN Y ECUACIONES DIFERENCIALES

6.1 FUNDAMENTOS ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables.
Clasificación:
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Según el Tipo:
Se clasifican, en ecuación diferencial ordinaria y en ecuacióndiferencial en derivadas parciales.
Ecuación diferencial ordinaria: la función desconocida depende de una sola variable.
Ecuación diferencial en derivadas parciales:
La función desconocida depende de más de una variable.
Ejemplos:
f es la variable desconocida.
Cuando una ecuación involucra a una o mas derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente.Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuación:
i es la variable dependiente, t la variable independiente Y, L, R, C, E y W son llamadas constantes o parámetros.
Según el Orden:
Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el grado de la derivada más alta (exponente).




6.1.1 Solución De EcuacionesDiferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

El orden de una ecuación diferencial lo determina la derivada mayor que existe en una ecuación. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ordinarias y parciales, según el tipo de derivadas que contengan.

La solución de unaecuación diferencial ordinaria es una función en términos de las variables independientes y de parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original. Par ilustrar el concepto tenemos la siguiente ecuación:

y= -0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1……………………………1)

La ecuación mostrada es la solución de la ecuación diferencial:

Dy/Dx=2x3+12x2-20x+8.5………………………………2)

Esta ecuación también describe elcomportamiento del polinomio, pero de una manera diferente a la primera ecuación, Más que representar explícitamente los valores de y para cada valor de x la ecuación dos da la razón de cambio de y con respecto a x (es decir, la pendiente) para cada valor de x.

6.2 METODOS DE UN PASO

Obviamente, la importancia de los métodos numéricos radica en la aparición de ecuaciones diferenciales que nopueden resolverse por métodos tradicionales, y de ahí la necesidad de implementar algún método de aproximación.
Veremos tres métodos numéricos:
• El método de Euler.
• El método de Euler mejorado.
• El método de Runge-Kutta
Para comprobar que el método de un paso de función incremento se utiliza la siguiente ecuación que es de orden 3:

Sea la función incrementode un método de un paso de 2 orden



6.2.1 Metodo Euler y Euler Mejorado

Método de Euler
Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). [1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuacióndiferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]
Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Error para el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dostipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  

Método de Euler Mejorado
El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos:
1. Se parte de (x0,y0) y se...