DIFERENCIAL 4

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una ecuación diferencial se llama LINEAL si es de primer grado en la variable dependiente, como así también en sus derivadas. Si además es de primer orden,puede escribirse en la forma:
dy/dx + P(x) . y = Q(x) (1)
En esta ecuación no es posible, en general, separar las variables. En cambio, ello puede hacerse en la ECUACION LINEAL INCOMPLETA (uhomogénea en y e y) que resulta de reemplazar Q(x) por cero luego: dy /dx + P(x) . y = 0
Sea u = u(x) una solución particular de la ecuación incompleta, es decir, tal que verifique du/dx+P(x).u=0
Separando variables: du/u=- P(x).dx integrando
Haciendo y = u .v (sustitución de LAGRANGE) siendo u la solución ya hallada de la ecuación incompleta y determinado el valor de v, de modoque sea solución de la ecuación completa, será: y = u . v reemplazando dy/dx e y en (1) será:
u . dv/dx + v . du/dx + P(x).u .v = Q(x) luego u .dv /dx + v.(du/dx + P(x) . u)= Q(x)
perola expresión entre paréntesis se anula, por ser una solución de la ecuación incompleta luego: u . dv/dx = Q(x) u . dv = Q(x) . dx
v =  Q(x).eP(x).dx . dx + C
luego reemplazamos los valoresde u y v tenemos:



Ejemplo

Sea la ecuación dy/dx -y = x (a) En este ejemplo P = 1 ; Q = x. Consideraremos la ecuación incompleta: dy/dx -y = 0 du/dx-u = 0 du = - u . dx ln u = - x + C que podemos considerar C=0 u = e-X (solución particular) haciendo y=u . v
dy / dx = u . (dv /dx) + v . (du /dx) reemplazando en (a) u . (dv/dx) + v . (du/dx) + u . v = xluego u . (dv/dx) + v.( (du/dx) +u )= x du/dx +u= 0 u . dv/dx = x dv = x/u . dx = x/ e- x. dx
dv = x . e x . dx integrando dv =  x . ex . dx  v =  x . ex . dx + Creemplazando u y v por los valores obtenidos será: y = e-x [  x . ex . dx + C]   x . ex . dx = ex (x - 1) + C

y = e-x [ ex (x - 1) + C] = (x - 1) + e-x . C que es la solución general...