diferencial dejada por riverol

LA DIFERENCIAL
“La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando esta tiende a cero.”
En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definidopor la expresión

como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede también expresar como

El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y sonmanipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
Eldiferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dadoque dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.
Sea una función y = f (x).
Se define como la diferencial de la variable independiente a: dx = ∆x
Se define como la diferencial de la variable dependiente a: dy = f '(x)⋅ dx

Esto significa que la diferencial de la variable x es por definición igual al incremento que experimenta,
sinembargo, la diferencial de la variable y no es igual su incremento:
dx = ∆x
dy ≠ ∆y

Sea una función y = f (x). Dado un punto P de abscisa x , si se le dota de un incremento ∆x , se tendrá otro punto Q de abscisa x +∆x . Ahora, si se traza la tangente a la curva en el punto P(x, y), y desde x +∆x se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente, se apreciaclaramente como la diferencial dy y el incremento ∆y no son iguales.

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación de Leibnitz  como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy ( diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivadacomo un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.
La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico.
Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. 9.40. (a)). 
  

fig. 9.40.
Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejesantiguos.
En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P, pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber dy = mdx, dondem es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ’(x), se tiene entonces: dy = f ’(x) dx 
Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales.Sellama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento ; esto es .
Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada por dy, se define como , o también,  dy= f '(x) dx.
Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3









a) INTERPRETACION GEOMETRICA




La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada...