Difusión con reacción química homogénea

DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA

En la operación unitaria de absorción, uno de los constituyentes de una mezcla gaseosa se disuelve en forma preferente en el líquido que hace contacto. Dependiendo de la naturaleza química de las moléculas que intervienen, la absorción puede no aplicar recciones químicas.
Como otra ilustración del planteamiento de un balance de materia, consideremos elsistema que se indica en la figura homogénea.

Gas A
cA0
z= 0
Liquido B NAZ z
Δz
NAZ z z = L
Fig. 1. Absorción con reacción química

En este caso el gas A se disuelve en el liquido B y difunde en la fase liquida. Al mismo tiempo que difunde la sustancia A sufre una reacción química irreversiblede primer orden: A + B→ AB. Por lo tanto, el balance de materia (entrada – salida + producción = 0) toma la forma

NAZ zS-NAZ z+ΔzS-K1´´´cASΔz=0 Ec. (1)

En la que K1´´´ es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, y S es el área de la sección transversal de líquido. El producto K1´´´cA representa el número de moles de A que desaparecen por unidadde volumen y unidad de tiempo. Dividiendo la Ec. (1) por SΔz, y tomando el límite cuando Δz tiende a cero, se obtiene

NAZ zS-NAZ z+ΔzS-K1´´´cASΔz=0
Dividiendo por SΔz
NAZ zS-NAZ z+ΔzS-K1´´´cASΔzSΔz=0SΔz

NAZ z-NAZ z+ΔzΔz-K1´´´cA=0
limΔz→0NAZ z-NAZ z+ΔzΔz-K1´´´cA=0

dNAZdz+K1´´´=0 Ec. (2)

Si A y AB están presentes a bajas concentraciones, la Ec. (1) se puedeescribir con buena aproximación de la siguiente forma

NAZ=-cDABdcAdz+CA(NAZz+NAB)

NAZ=-DABdcAdz ec. (3)

Substituyendo la Ec. 3 en la (2), se obtiene

d(-cDABdcAdz)dz+K1´´´cA=0

cDAB=constante=DAB

-DABd2cAdz2+K1´´´cA=0 ec. (4)

que se resuelve con las siguientes condiciones límite:

C.L. 1: para z = 0 cA=cA0 ec. (5)

C.L. 2:para z = L NAZ=0 ó dcAdz=0 ec. (6)

La primera condición límite establece que la concentración en la superficie se mantiene a un valor fijo cA0. La segunda establece que A no difunde a través del fondo del recipiente.

Dimensionalizando

θ=cAcA0 δ=zL b1=K1´´´L2/DAB d2θdδ2

Operadordiferencial D=ddδ

D2-b12θ=0

D2-b12=0 → D=b1

Mediante la solución para una ecuación diferencial de segundo orden se tiene

θ=C1eD1δ+C2eD2δ

θ=C1eb1δ+C2eb2δ Solución general


C.L. 1: cAz=0 = cA0 → θ = 1
δ=0
Nuevas condiciones límites

C.L. 2: dcAdz = 0 →d θdδ = 0
z=0 δ=0

0 0

C.L. 1: 1=C1eb1(0)+C2eb2(0)


1=C1+C2 C1=1-C2

C.L. 2: dθdδ= C1eb1δ+C2e-b2δ

dθdδ= b1C1eb1δ-b1C2e-b2δ dcAdz = b1C1eb1-b1C2e-b2 = 0
δ=0

b1C1eb1-b1C2e-b2 = 0 C1eb1-C2e-b2

Sustituyendo C1

(1-C2)eb1-C2e-b2=0eb1-C2eb1-C2e-b1=0

eb1-C2(eb1+e-b1)=0

C2=eb1(eb1+e-b1)

C1=1-eb1(eb1+e-b1)=eb1+e-b1-eb1(eb1+e-b1)

C1=e-b1(eb1+e-b1)

Sustituyendo C1 y C2en le ec. general

θ=e-b1(eb1+e-b1)eb1δ+eb1(eb1+e-b1)e-b1δ

θ=e-b1eb1δ+eb1e-b1δ(eb1+e-b1)

θ=e-b1(1-δ)+eb1(1-δ)/2(eb1+e-b1)/2

Identidad trigonométrica

coshx=ex+e-x2

θ=coshb1(1-δ)coshb1

θ=cAcA0 δ=zLb1=K1´´´L2/DAB

La resolución de la Ec. (4) con estas condiciones límite, da

cAcA0=coshb11-z/Lcoshb1 ec. (7)
En la que b1=K1´´´L2/DAB. El perfil de concentración así obtenido se indica en la fig. (17.4-1) NAZ zS-NAZ z+ΔzS-K1´´´cASΔz=0
Apartir de la ec. (7) se puede obtener la concentración media de A en la...