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fgean dos vectores \mathbf a y \mathbf b en el espacio vectorial \mathbb{R}^3. El producto vectorial entre \mathbf a\, y \mathbf b\, da como resultado un nuevo vector, \mathbf c\,. El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitarconfusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante1 :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, \qquad \mathbf{a} \times \mathbf{b}

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

{\mathbf a \times \mathbf b = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})\ \hat{\mathbf n}}

donde \hat{\mathbf n} es el vector unitario yortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
Producto vectorial de dos vectores
Producto vectorial.

Sean los vectores concurrentes de \mathbb{R}^3 , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k
\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k
\mathbf w = w_x \mathbf i + w_y \mathbf j + w_z \mathbf k

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

\begin{array}{rrcl} \times : & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ & (\mathbf u , \mathbf v) &\longrightarrow & \mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v \end{array}

donde la última fórmula se interpreta como:

\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = (u_yv_z-u_zv_y)\mathbf i + (u_zv_x-u_xv_z) \mathbf j + (u_xv_y-u_yv_x) \mathbf k

esto es:

w_x = u_y v_z - u_z v_y
w_y = u_z v_x - u_x v_z
w_z = u_x v_y - u_y v_x

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollopor la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\\end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de \mathbf u \times \mathbf v es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Ejemplo

El producto vectorial de losvectores \mathbf a = (2,0,1) y \mathbf b = (1,-1,3) se calcula del siguiente modo:

\mathbf c = \mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ \end{vmatrix}

Expandiendo el determinante:

\mathbf c = \mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} + \mathbf k \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k

Dando como resultado:

\mathbf c = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k

Puede verificarse fácilmente que \mathbf a \times \mathbf b es ortogonal a los vectores \mathbf a y \mathbf b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición deperpendicularidad de vectores)
Propiedades
Identidades

Cualesquiera que sean los vectores \mathbf a , \mathbf b y \mathbf c :

\mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a) , (anticonmutatividad)
\mathbf a \cdot ( \mathbf a \times \mathbf b ) = 0 , cancelación por ortogonalidad.
Si \mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0 con \mathbf a \neq \mathbf 0 y \mathbf b \neq...